Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61160 / 32311
↖ ↑ ↗
← N 67.008501°
W 12.019043°		 ← 119.27 m → N 67.008501°
W 12.016297°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
N 67.007428°
W 12.019043°		 ← 119.28 m →
14 233 m²		 N 67.007428°
W 12.016297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466617584228516 y=0.246517181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466617584228516 × 217)
    floor (0.466617584228516 × 131072)
    floor (61160.5)     		tx = 61160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246517181396484 × 217)
    floor (0.246517181396484 × 131072)
    floor (32311.5)     		ty = 32311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61160 / 32311 ti = "17/61160/32311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61160/32311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61160 ÷ 217
    61160 ÷ 131072     		x = 0.46661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32311 ÷ 217
    32311 ÷ 131072     		y = 0.246513366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246513366699219 × 2 - 1) × π
    0.506973266601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.59270348987637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20977187} λ = -0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59270348987637))-π/2
    2×atan(4.91702410047182)-π/2
    2×1.37015764723363-π/2
    2.74031529446727-1.57079632675     		φ = 1.16951897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16951897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.008501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61160 KachelY 32311 -0.20977187 1.16951897 -12.019043 67.008501
    Oben rechts KachelX + 1 61161 KachelY 32311 -0.20972394 1.16951897 -12.016297 67.008501
    Unten links KachelX 61160 KachelY + 1 32312 -0.20977187 1.16950024 -12.019043 67.007428
    Unten rechts KachelX + 1 61161 KachelY + 1 32312 -0.20972394 1.16950024 -12.016297 67.007428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16951897-1.16950024) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dl = 119.328829999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16951897-1.16950024) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dr = 119.328829999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20977187--0.20972394) × cos(1.16951897) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.390594547812607 × 6371000     		do = 119.272744026994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20977187--0.20972394) × cos(1.16950024) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.390611789885647 × 6371000     		du = 119.278009101419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16951897)-sin(1.16950024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390594547812607-0.390611789885647)×R²
    abs(-0.20972394--0.20977187)×1.72420730400469e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.72420730400469e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72420730400469e-05×40589641000000     		ar = 14232.9911335352m²