Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6116 / 7586
↖ ↑ ↗
← N 13.197164°
W 45.615234°		 ← 2 378.75 m → N 13.197164°
W 45.593262°		 →
↑
2 378.80 m
↓
↑
2 378.80 m
↓
N 13.175771°
W 45.615234°		 ← 2 378.96 m →
5 658 832 m²		 N 13.175771°
W 45.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373321533203125 y=0.463043212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373321533203125 × 214)
    floor (0.373321533203125 × 16384)
    floor (6116.5)     		tx = 6116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463043212890625 × 214)
    floor (0.463043212890625 × 16384)
    floor (7586.5)     		ty = 7586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6116 / 7586 ti = "14/6116/7586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6116/7586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6116 ÷ 214
    6116 ÷ 16384     		x = 0.373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7586 ÷ 214
    7586 ÷ 16384     		y = 0.4630126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.25341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79613603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4630126953125 × 2 - 1) × π
    0.073974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.232398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79613603} λ = -0.79613603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232398089358032))-π/2
    2×atan(1.2616218671129)-π/2
    2×0.900565149823544-π/2
    1.80113029964709-1.57079632675     		φ = 0.23033397
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79613603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.615234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23033397 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.197164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6116 KachelY 7586 -0.79613603 0.23033397 -45.615234 13.197164
    Oben rechts KachelX + 1 6117 KachelY 7586 -0.79575253 0.23033397 -45.593262 13.197164
    Unten links KachelX 6116 KachelY + 1 7587 -0.79613603 0.22996059 -45.615234 13.175771
    Unten rechts KachelX + 1 6117 KachelY + 1 7587 -0.79575253 0.22996059 -45.593262 13.175771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23033397-0.22996059) × R
    0.000373380000000006 × 6371000     		dl = 2378.80398000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23033397-0.22996059) × R
    0.000373380000000006 × 6371000     		dr = 2378.80398000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79613603--0.79575253) × cos(0.23033397) × R
    0.000383499999999981 × 0.973590203053847 × 6371000     		do = 2378.75201093198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79613603--0.79575253) × cos(0.22996059) × R
    0.000383499999999981 × 0.973675378843451 × 6371000     		du = 2378.96011910744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23033397)-sin(0.22996059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973590203053847-0.973675378843451)×R²
    abs(-0.79575253--0.79613603)×8.51757896038752e-05×R²
    0.000383499999999981×8.51757896038752e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.51757896038752e-05×40589641000000     		ar = 5658832.34105868m²