Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6116 / 6389
↖ ↑ ↗
← S 70.451509°
E 88.769531°		 ← 1 635.04 m → S 70.451509°
E 88.813477°		 →
↑
1 634.42 m
↓
↑
1 634.42 m
↓
S 70.466207°
E 88.769531°		 ← 1 633.86 m →
2 671 375 m²		 S 70.466207°
E 88.813477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74664306640625 y=0.77996826171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74664306640625 × 213)
    floor (0.74664306640625 × 8192)
    floor (6116.5)     		tx = 6116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77996826171875 × 213)
    floor (0.77996826171875 × 8192)
    floor (6389.5)     		ty = 6389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6116 / 6389 ti = "13/6116/6389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6116/6389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6116 ÷ 213
    6116 ÷ 8192     		x = 0.74658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6389 ÷ 213
    6389 ÷ 8192     		y = 0.7799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.74658203125 × 2 - 1) × π
    0.4931640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.54932060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75870897326062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54932060} λ = 1.54932060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75870897326062))-π/2
    2×atan(0.172267121782232)-π/2
    2×0.170592770817497-π/2
    0.341185541634994-1.57079632675     		φ = -1.22961079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54932060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22961079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.451509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6116 KachelY 6389 1.54932060 -1.22961079 88.769531 -70.451509
    Oben rechts KachelX + 1 6117 KachelY 6389 1.55008759 -1.22961079 88.813477 -70.451509
    Unten links KachelX 6116 KachelY + 1 6390 1.54932060 -1.22986733 88.769531 -70.466207
    Unten rechts KachelX + 1 6117 KachelY + 1 6390 1.55008759 -1.22986733 88.813477 -70.466207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22961079--1.22986733) × R
    0.000256540000000083 × 6371000     		dl = 1634.41634000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22961079--1.22986733) × R
    0.000256540000000083 × 6371000     		dr = 1634.41634000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54932060-1.55008759) × cos(-1.22961079) × R
    0.000766990000000023 × 0.334604527865937 × 6371000     		do = 1635.04278022057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54932060-1.55008759) × cos(-1.22986733) × R
    0.000766990000000023 × 0.334362764171974 × 6371000     		du = 1633.86140355225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22961079)-sin(-1.22986733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334604527865937-0.334362764171974)×R²
    abs(1.55008759-1.54932060)×0.000241763693962616×R²
    0.000766990000000023×0.000241763693962616×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241763693962616×40589641000000     		ar = 2671375.22057918m²