Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61159 / 40997
↖ ↑ ↗
← N 55.719376°
W 12.021790°		 ← 172.03 m → N 55.719376°
W 12.019043°		 →
↑
172.08 m
↓
↑
172.08 m
↓
N 55.717829°
W 12.021790°		 ← 172.04 m →
29 604 m²		 N 55.717829°
W 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466609954833984 y=0.312786102294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466609954833984 × 217)
    floor (0.466609954833984 × 131072)
    floor (61159.5)     		tx = 61159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312786102294922 × 217)
    floor (0.312786102294922 × 131072)
    floor (40997.5)     		ty = 40997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61159 / 40997 ti = "17/61159/40997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61159/40997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61159 ÷ 217
    61159 ÷ 131072     		x = 0.466606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40997 ÷ 217
    40997 ÷ 131072     		y = 0.312782287597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466606140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0667877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20981981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312782287597656 × 2 - 1) × π
    0.374435424804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.17632357977656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20981981} λ = -0.20981981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17632357977656))-π/2
    2×atan(3.24243172199593)-π/2
    2×1.27164144612895-π/2
    2.5432828922579-1.57079632675     		φ = 0.97248657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20981981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.021790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97248657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.719376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61159 KachelY 40997 -0.20981981 0.97248657 -12.021790 55.719376
    Oben rechts KachelX + 1 61160 KachelY 40997 -0.20977187 0.97248657 -12.019043 55.719376
    Unten links KachelX 61159 KachelY + 1 40998 -0.20981981 0.97245956 -12.021790 55.717829
    Unten rechts KachelX + 1 61160 KachelY + 1 40998 -0.20977187 0.97245956 -12.019043 55.717829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97248657-0.97245956) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dl = 172.080710000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97248657-0.97245956) × R
    2.70100000000495e-05 × 6371000     		dr = 172.080710000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20981981--0.20977187) × cos(0.97248657) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563246649574661 × 6371000     		do = 172.030024748848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20981981--0.20977187) × cos(0.97245956) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563268967430193 × 6371000     		du = 172.036841196389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97248657)-sin(0.97245956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563246649574661-0.563268967430193)×R²
    abs(-0.20977187--0.20981981)×2.23178555321946e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23178555321946e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23178555321946e-05×40589641000000     		ar = 29603.6352915403m²