Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61159 / 40994
↖ ↑ ↗
← N 55.724016°
W 12.021790°		 ← 172.01 m → N 55.724016°
W 12.019043°		 →
↑
172.02 m
↓
↑
172.02 m
↓
N 55.722469°
W 12.021790°		 ← 172.02 m →
29 589 m²		 N 55.722469°
W 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466609954833984 y=0.312763214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466609954833984 × 217)
    floor (0.466609954833984 × 131072)
    floor (61159.5)     		tx = 61159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312763214111328 × 217)
    floor (0.312763214111328 × 131072)
    floor (40994.5)     		ty = 40994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61159 / 40994 ti = "17/61159/40994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61159/40994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61159 ÷ 217
    61159 ÷ 131072     		x = 0.466606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40994 ÷ 217
    40994 ÷ 131072     		y = 0.312759399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466606140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0667877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20981981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312759399414062 × 2 - 1) × π
    0.374481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.17646739047542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20981981} λ = -0.20981981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17646739047542))-π/2
    2×atan(3.24289805189869)-π/2
    2×1.27168194417011-π/2
    2.54336388834021-1.57079632675     		φ = 0.97256756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20981981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.021790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97256756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.724016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61159 KachelY 40994 -0.20981981 0.97256756 -12.021790 55.724016
    Oben rechts KachelX + 1 61160 KachelY 40994 -0.20977187 0.97256756 -12.019043 55.724016
    Unten links KachelX 61159 KachelY + 1 40995 -0.20981981 0.97254056 -12.021790 55.722469
    Unten rechts KachelX + 1 61160 KachelY + 1 40995 -0.20977187 0.97254056 -12.019043 55.722469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97256756-0.97254056) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dl = 172.016999999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97256756-0.97254056) × R
    2.69999999999992e-05 × 6371000     		dr = 172.016999999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20981981--0.20977187) × cos(0.97256756) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563179726596041 × 6371000     		do = 172.00958474858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20981981--0.20977187) × cos(0.97254056) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563202037420457 × 6371000     		du = 172.016399048638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97256756)-sin(0.97254056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563179726596041-0.563202037420457)×R²
    abs(-0.20977187--0.20981981)×2.23108244157277e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23108244157277e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23108244157277e-05×40589641000000     		ar = 29589.1588291634m²