Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61159 / 34483
↖ ↑ ↗
← N 64.563780°
W 12.021790°		 ← 131.18 m → N 64.563780°
W 12.019043°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
N 64.562600°
W 12.021790°		 ← 131.19 m →
17 209 m²		 N 64.562600°
W 12.019043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466609954833984 y=0.263088226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466609954833984 × 217)
    floor (0.466609954833984 × 131072)
    floor (61159.5)     		tx = 61159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263088226318359 × 217)
    floor (0.263088226318359 × 131072)
    floor (34483.5)     		ty = 34483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61159 / 34483 ti = "17/61159/34483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61159/34483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61159 ÷ 217
    61159 ÷ 131072     		x = 0.466606140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34483 ÷ 217
    34483 ÷ 131072     		y = 0.263084411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466606140136719 × 2 - 1) × π
    -0.0667877197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20981981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263084411621094 × 2 - 1) × π
    0.473831176757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.4885845439016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20981981} λ = -0.20981981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4885845439016))-π/2
    2×atan(4.43081944789154)-π/2
    2×1.34882343456182-π/2
    2.69764686912364-1.57079632675     		φ = 1.12685054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20981981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.021790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12685054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.563780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61159 KachelY 34483 -0.20981981 1.12685054 -12.021790 64.563780
    Oben rechts KachelX + 1 61160 KachelY 34483 -0.20977187 1.12685054 -12.019043 64.563780
    Unten links KachelX 61159 KachelY + 1 34484 -0.20981981 1.12682995 -12.021790 64.562600
    Unten rechts KachelX + 1 61160 KachelY + 1 34484 -0.20977187 1.12682995 -12.019043 64.562600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12685054-1.12682995) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000     		dl = 131.17888999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12685054-1.12682995) × R
    2.0589999999876e-05 × 6371000     		dr = 131.17888999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20981981--0.20977187) × cos(1.12685054) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429506097196641 × 6371000     		do = 131.182217570786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20981981--0.20977187) × cos(1.12682995) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429524691192493 × 6371000     		du = 131.187896655729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12685054)-sin(1.12682995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429506097196641-0.429524691192493)×R²
    abs(-0.20977187--0.20981981)×1.85939958523007e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85939958523007e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85939958523007e-05×40589641000000     		ar = 17208.7101772459m²