Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61158 / 76893
↖ ↑ ↗
← S 29.757224°
W 12.024536°		 ← 265.15 m → S 29.757224°
W 12.021790°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.759609°
W 12.024536°		 ← 265.14 m →
70 307 m²		 S 29.759609°
W 12.021790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466602325439453 y=0.586650848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466602325439453 × 217)
    floor (0.466602325439453 × 131072)
    floor (61158.5)     		tx = 61158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586650848388672 × 217)
    floor (0.586650848388672 × 131072)
    floor (76893.5)     		ty = 76893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61158 / 76893 ti = "17/61158/76893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61158/76893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61158 ÷ 217
    61158 ÷ 131072     		x = 0.466598510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76893 ÷ 217
    76893 ÷ 131072     		y = 0.586647033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466598510742188 × 2 - 1) × π
    -0.066802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20986775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586647033691406 × 2 - 1) × π
    -0.173294067382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.544419368984978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20986775} λ = -0.20986775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544419368984978))-π/2
    2×atan(0.580178555223698)-π/2
    2×0.525717392314613-π/2
    1.05143478462923-1.57079632675     		φ = -0.51936154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20986775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.024536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51936154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.757224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61158 KachelY 76893 -0.20986775 -0.51936154 -12.024536 -29.757224
    Oben rechts KachelX + 1 61159 KachelY 76893 -0.20981981 -0.51936154 -12.021790 -29.757224
    Unten links KachelX 61158 KachelY + 1 76894 -0.20986775 -0.51940316 -12.024536 -29.759609
    Unten rechts KachelX + 1 61159 KachelY + 1 76894 -0.20981981 -0.51940316 -12.021790 -29.759609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51936154--0.51940316) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51936154--0.51940316) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20986775--0.20981981) × cos(-0.51936154) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868136240873836 × 6371000     		do = 265.151153789689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20986775--0.20981981) × cos(-0.51940316) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.868115583035119 × 6371000     		du = 265.144844354012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51936154)-sin(-0.51940316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868136240873836-0.868115583035119)×R²
    abs(-0.20981981--0.20986775)×2.06578387178524e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.06578387178524e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.06578387178524e-05×40589641000000     		ar = 70306.9138949103m²