Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61158 / 41321
↖ ↑ ↗
← N 55.214923°
W 12.024536°		 ← 174.25 m → N 55.214923°
W 12.021790°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
N 55.213356°
W 12.024536°		 ← 174.25 m →
30 362 m²		 N 55.213356°
W 12.021790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61158 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466602325439453 y=0.315258026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466602325439453 × 217)
    floor (0.466602325439453 × 131072)
    floor (61158.5)     		tx = 61158
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315258026123047 × 217)
    floor (0.315258026123047 × 131072)
    floor (41321.5)     		ty = 41321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61158 / 41321 ti = "17/61158/41321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61158/41321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61158 ÷ 217
    61158 ÷ 131072     		x = 0.466598510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41321 ÷ 217
    41321 ÷ 131072     		y = 0.315254211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466598510742188 × 2 - 1) × π
    -0.066802978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20986775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315254211425781 × 2 - 1) × π
    0.369491577148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.16079202429966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20986775} λ = -0.20986775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16079202429966))-π/2
    2×atan(3.19246078157591)-π/2
    2×1.26723926676087-π/2
    2.53447853352175-1.57079632675     		φ = 0.96368221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20986775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.024536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96368221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.214923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61158 KachelY 41321 -0.20986775 0.96368221 -12.024536 55.214923
    Oben rechts KachelX + 1 61159 KachelY 41321 -0.20981981 0.96368221 -12.021790 55.214923
    Unten links KachelX 61158 KachelY + 1 41322 -0.20986775 0.96365486 -12.024536 55.213356
    Unten rechts KachelX + 1 61159 KachelY + 1 41322 -0.20981981 0.96365486 -12.021790 55.213356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96368221-0.96365486) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dl = 174.246849999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96368221-0.96365486) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dr = 174.246849999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20986775--0.20981981) × cos(0.96368221) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570499669424353 × 6371000     		do = 174.245283703675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20986775--0.20981981) × cos(0.96365486) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570522131706655 × 6371000     		du = 174.252144262869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96368221)-sin(0.96365486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570499669424353-0.570522131706655)×R²
    abs(-0.20981981--0.20986775)×2.24622823014053e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24622823014053e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24622823014053e-05×40589641000000     		ar = 30362.2895300568m²