Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61156 / 34284
↖ ↑ ↗
← N 64.797526°
W 12.030029°		 ← 130.06 m → N 64.797526°
W 12.027283°		 →
↑
130.03 m
↓
↑
130.03 m
↓
N 64.796357°
W 12.030029°		 ← 130.06 m →
16 912 m²		 N 64.796357°
W 12.027283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466587066650391 y=0.261569976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466587066650391 × 217)
    floor (0.466587066650391 × 131072)
    floor (61156.5)     		tx = 61156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261569976806641 × 217)
    floor (0.261569976806641 × 131072)
    floor (34284.5)     		ty = 34284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61156 / 34284 ti = "17/61156/34284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61156/34284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61156 ÷ 217
    61156 ÷ 131072     		x = 0.466583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34284 ÷ 217
    34284 ÷ 131072     		y = 0.261566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.06683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20996362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261566162109375 × 2 - 1) × π
    0.47686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49812398692599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20996362} λ = -0.20996362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49812398692599))-π/2
    2×atan(4.47328924460348)-π/2
    2×1.35086325446709-π/2
    2.70172650893417-1.57079632675     		φ = 1.13093018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20996362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.030029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13093018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.797526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61156 KachelY 34284 -0.20996362 1.13093018 -12.030029 64.797526
    Oben rechts KachelX + 1 61157 KachelY 34284 -0.20991568 1.13093018 -12.027283 64.797526
    Unten links KachelX 61156 KachelY + 1 34285 -0.20996362 1.13090977 -12.030029 64.796357
    Unten rechts KachelX + 1 61157 KachelY + 1 34285 -0.20991568 1.13090977 -12.027283 64.796357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13093018-1.13090977) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dl = 130.032110000521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13093018-1.13090977) × R
    2.04100000000818e-05 × 6371000     		dr = 130.032110000521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20996362--0.20991568) × cos(1.13093018) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425818357340706 × 6371000     		do = 130.05588689636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20996362--0.20991568) × cos(1.13090977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425836824396937 × 6371000     		du = 130.061527210675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13093018)-sin(1.13090977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425818357340706-0.425836824396937)×R²
    abs(-0.20991568--0.20996362)×1.84670562312639e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84670562312639e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84670562312639e-05×40589641000000     		ar = 16911.8081027588m²