Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61151 / 76889
↖ ↑ ↗
← S 29.747686°
W 12.043762°		 ← 265.12 m → S 29.747686°
W 12.041016°		 →
↑
265.16 m
↓
↑
265.16 m
↓
S 29.750071°
W 12.043762°		 ← 265.11 m →
70 299 m²		 S 29.750071°
W 12.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466548919677734 y=0.586620330810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466548919677734 × 217)
    floor (0.466548919677734 × 131072)
    floor (61151.5)     		tx = 61151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586620330810547 × 217)
    floor (0.586620330810547 × 131072)
    floor (76889.5)     		ty = 76889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61151 / 76889 ti = "17/61151/76889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61151/76889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61151 ÷ 217
    61151 ÷ 131072     		x = 0.466545104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76889 ÷ 217
    76889 ÷ 131072     		y = 0.586616516113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466545104980469 × 2 - 1) × π
    -0.0669097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21020330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586616516113281 × 2 - 1) × π
    -0.173233032226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.544227621386497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21020330} λ = -0.21020330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544227621386497))-π/2
    2×atan(0.580289813734787)-π/2
    2×0.525800627794465-π/2
    1.05160125558893-1.57079632675     		φ = -0.51919507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21020330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.043762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51919507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.747686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61151 KachelY 76889 -0.21020330 -0.51919507 -12.043762 -29.747686
    Oben rechts KachelX + 1 61152 KachelY 76889 -0.21015537 -0.51919507 -12.041016 -29.747686
    Unten links KachelX 61151 KachelY + 1 76890 -0.21020330 -0.51923669 -12.043762 -29.750071
    Unten rechts KachelX + 1 61152 KachelY + 1 76890 -0.21015537 -0.51923669 -12.041016 -29.750071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51919507--0.51923669) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dl = 265.161019999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51919507--0.51923669) × R
    4.16199999999645e-05 × 6371000     		dr = 265.161019999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21020330--0.21015537) × cos(-0.51919507) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868218852228468 × 6371000     		do = 265.121071200764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21020330--0.21015537) × cos(-0.51923669) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.868198200404831 × 6371000     		du = 265.114764917975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51919507)-sin(-0.51923669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868218852228468-0.868198200404831)×R²
    abs(-0.21015537--0.21020330)×2.06518236374187e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.06518236374187e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.06518236374187e-05×40589641000000     		ar = 70298.9375830057m²