Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61151 / 76295
↖ ↑ ↗
← S 28.321307°
W 12.043762°		 ← 268.81 m → S 28.321307°
W 12.041016°		 →
↑
268.86 m
↓
↑
268.86 m
↓
S 28.323725°
W 12.043762°		 ← 268.80 m →
72 271 m²		 S 28.323725°
W 12.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466548919677734 y=0.582088470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466548919677734 × 217)
    floor (0.466548919677734 × 131072)
    floor (61151.5)     		tx = 61151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582088470458984 × 217)
    floor (0.582088470458984 × 131072)
    floor (76295.5)     		ty = 76295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61151 / 76295 ti = "17/61151/76295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61151/76295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61151 ÷ 217
    61151 ÷ 131072     		x = 0.466545104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76295 ÷ 217
    76295 ÷ 131072     		y = 0.582084655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466545104980469 × 2 - 1) × π
    -0.0669097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21020330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582084655761719 × 2 - 1) × π
    -0.164169311523438 × 3.1415926535     		Φ = -0.515753103012184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21020330} λ = -0.21020330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515753103012184))-π/2
    2×atan(0.597050784518579)-π/2
    2×0.538248137670485-π/2
    1.07649627534097-1.57079632675     		φ = -0.49430005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21020330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.043762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49430005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.321307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61151 KachelY 76295 -0.21020330 -0.49430005 -12.043762 -28.321307
    Oben rechts KachelX + 1 61152 KachelY 76295 -0.21015537 -0.49430005 -12.041016 -28.321307
    Unten links KachelX 61151 KachelY + 1 76296 -0.21020330 -0.49434225 -12.043762 -28.323725
    Unten rechts KachelX + 1 61152 KachelY + 1 76296 -0.21015537 -0.49434225 -12.041016 -28.323725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49430005--0.49434225) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dl = 268.856199999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49430005--0.49434225) × R
    4.21999999999922e-05 × 6371000     		dr = 268.856199999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21020330--0.21015537) × cos(-0.49430005) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.880300992651834 × 6371000     		do = 268.810498127188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21020330--0.21015537) × cos(-0.49434225) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.880280971529646 × 6371000     		du = 268.804384436674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49430005)-sin(-0.49434225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880300992651834-0.880280971529646)×R²
    abs(-0.21015537--0.21020330)×2.00211221879076e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.00211221879076e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.00211221879076e-05×40589641000000     		ar = 72270.5472054807m²