Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61150 / 40990
↖ ↑ ↗
← N 55.730203°
W 12.046509°		 ← 171.98 m → N 55.730203°
W 12.043762°		 →
↑
171.95 m
↓
↑
171.95 m
↓
N 55.728657°
W 12.046509°		 ← 171.99 m →
29 574 m²		 N 55.728657°
W 12.043762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466541290283203 y=0.312732696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466541290283203 × 217)
    floor (0.466541290283203 × 131072)
    floor (61150.5)     		tx = 61150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312732696533203 × 217)
    floor (0.312732696533203 × 131072)
    floor (40990.5)     		ty = 40990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61150 / 40990 ti = "17/61150/40990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61150/40990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61150 ÷ 217
    61150 ÷ 131072     		x = 0.466537475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40990 ÷ 217
    40990 ÷ 131072     		y = 0.312728881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466537475585938 × 2 - 1) × π
    -0.066925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21025124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312728881835938 × 2 - 1) × π
    0.374542236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1766591380739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21025124} λ = -0.21025124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1766591380739))-π/2
    2×atan(3.24351992943212)-π/2
    2×1.27173593407252-π/2
    2.54347186814504-1.57079632675     		φ = 0.97267554
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21025124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.046509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97267554 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.730203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61150 KachelY 40990 -0.21025124 0.97267554 -12.046509 55.730203
    Oben rechts KachelX + 1 61151 KachelY 40990 -0.21020330 0.97267554 -12.043762 55.730203
    Unten links KachelX 61150 KachelY + 1 40991 -0.21025124 0.97264855 -12.046509 55.728657
    Unten rechts KachelX + 1 61151 KachelY + 1 40991 -0.21020330 0.97264855 -12.043762 55.728657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97267554-0.97264855) × R
    2.699000000006e-05 × 6371000     		dl = 171.953290000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97267554-0.97264855) × R
    2.699000000006e-05 × 6371000     		dr = 171.953290000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21025124--0.21020330) × cos(0.97267554) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563090495720866 × 6371000     		do = 171.982331342499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21025124--0.21020330) × cos(0.97264855) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.563112799923312 × 6371000     		du = 171.989143620036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97267554)-sin(0.97264855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563090495720866-0.563112799923312)×R²
    abs(-0.21020330--0.21025124)×2.23042024457554e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23042024457554e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23042024457554e-05×40589641000000     		ar = 29573.5133949353m²