Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61150 / 34343
↖ ↑ ↗
← N 64.728435°
W 12.046509°		 ← 130.39 m → N 64.728435°
W 12.043762°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 64.727262°
W 12.046509°		 ← 130.39 m →
17 005 m²		 N 64.727262°
W 12.043762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466541290283203 y=0.262020111083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466541290283203 × 217)
    floor (0.466541290283203 × 131072)
    floor (61150.5)     		tx = 61150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262020111083984 × 217)
    floor (0.262020111083984 × 131072)
    floor (34343.5)     		ty = 34343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61150 / 34343 ti = "17/61150/34343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61150/34343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61150 ÷ 217
    61150 ÷ 131072     		x = 0.466537475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34343 ÷ 217
    34343 ÷ 131072     		y = 0.262016296386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466537475585938 × 2 - 1) × π
    -0.066925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21025124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262016296386719 × 2 - 1) × π
    0.475967407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.49529570984841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21025124} λ = -0.21025124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49529570984841))-π/2
    2×atan(4.46065541757492)-π/2
    2×1.35026031732203-π/2
    2.70052063464406-1.57079632675     		φ = 1.12972431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21025124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.046509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12972431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.728435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61150 KachelY 34343 -0.21025124 1.12972431 -12.046509 64.728435
    Oben rechts KachelX + 1 61151 KachelY 34343 -0.21020330 1.12972431 -12.043762 64.728435
    Unten links KachelX 61150 KachelY + 1 34344 -0.21025124 1.12970384 -12.046509 64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 61151 KachelY + 1 34344 -0.21020330 1.12970384 -12.043762 64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12972431-1.12970384) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dl = 130.414370001027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12972431-1.12970384) × R
    2.04700000001612e-05 × 6371000     		dr = 130.414370001027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21025124--0.21020330) × cos(1.12972431) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426909129109354 × 6371000     		do = 130.38903667097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21025124--0.21020330) × cos(1.12970384) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 130.394690351735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12972431)-sin(1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426909129109354-0.426927639928923)×R²
    abs(-0.21020330--0.21025124)×1.85108195689954e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85108195689954e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85108195689954e-05×40589641000000     		ar = 17004.9727337558m²