Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6115 / 6388
↖ ↑ ↗
← S 70.436799°
E 88.725586°		 ← 1 636.22 m → S 70.436799°
E 88.769531°		 →
↑
1 635.69 m
↓
↑
1 635.69 m
↓
S 70.451509°
E 88.725586°		 ← 1 635.04 m →
2 675 391 m²		 S 70.451509°
E 88.769531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74652099609375 y=0.77984619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74652099609375 × 213)
    floor (0.74652099609375 × 8192)
    floor (6115.5)     		tx = 6115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77984619140625 × 213)
    floor (0.77984619140625 × 8192)
    floor (6388.5)     		ty = 6388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6115 / 6388 ti = "13/6115/6388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6115/6388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6115 ÷ 213
    6115 ÷ 8192     		x = 0.7464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6388 ÷ 213
    6388 ÷ 8192     		y = 0.77978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7464599609375 × 2 - 1) × π
    0.492919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.54855361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77978515625 × 2 - 1) × π
    -0.5595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.7579419828667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.54855361} λ = 1.54855361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7579419828667))-π/2
    2×atan(0.172399299692942)-π/2
    2×0.170721136431617-π/2
    0.341442272863235-1.57079632675     		φ = -1.22935405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.54855361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 88.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22935405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.436799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6115 KachelY 6388 1.54855361 -1.22935405 88.725586 -70.436799
    Oben rechts KachelX + 1 6116 KachelY 6388 1.54932060 -1.22935405 88.769531 -70.436799
    Unten links KachelX 6115 KachelY + 1 6389 1.54855361 -1.22961079 88.725586 -70.451509
    Unten rechts KachelX + 1 6116 KachelY + 1 6389 1.54932060 -1.22961079 88.769531 -70.451509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22935405--1.22961079) × R
    0.000256739999999978 × 6371000     		dl = 1635.69053999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22935405--1.22961079) × R
    0.000256739999999978 × 6371000     		dr = 1635.69053999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.54855361-1.54932060) × cos(-1.22935405) × R
    0.000766990000000023 × 0.334846457993195 × 6371000     		do = 1636.22497016407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.54855361-1.54932060) × cos(-1.22961079) × R
    0.000766990000000023 × 0.334604527865937 × 6371000     		du = 1635.04278022057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22935405)-sin(-1.22961079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334846457993195-0.334604527865937)×R²
    abs(1.54932060-1.54855361)×0.000241930127258871×R²
    0.000766990000000023×0.000241930127258871×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241930127258871×40589641000000     		ar = 2675390.87125197m²