Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61149 / 76301
↖ ↑ ↗
← S 28.335813°
W 12.049255°		 ← 268.83 m → S 28.335813°
W 12.046509°		 →
↑
268.79 m
↓
↑
268.79 m
↓
S 28.338230°
W 12.049255°		 ← 268.82 m →
72 259 m²		 S 28.338230°
W 12.046509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466533660888672 y=0.582134246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466533660888672 × 217)
    floor (0.466533660888672 × 131072)
    floor (61149.5)     		tx = 61149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582134246826172 × 217)
    floor (0.582134246826172 × 131072)
    floor (76301.5)     		ty = 76301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61149 / 76301 ti = "17/61149/76301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61149/76301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61149 ÷ 217
    61149 ÷ 131072     		x = 0.466529846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76301 ÷ 217
    76301 ÷ 131072     		y = 0.582130432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466529846191406 × 2 - 1) × π
    -0.0669403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21029918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582130432128906 × 2 - 1) × π
    -0.164260864257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.516040724409904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21029918} λ = -0.21029918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516040724409904))-π/2
    2×atan(0.59687908463089)-π/2
    2×0.538121549607775-π/2
    1.07624309921555-1.57079632675     		φ = -0.49455323
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21029918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.049255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49455323 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.335813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61149 KachelY 76301 -0.21029918 -0.49455323 -12.049255 -28.335813
    Oben rechts KachelX + 1 61150 KachelY 76301 -0.21025124 -0.49455323 -12.046509 -28.335813
    Unten links KachelX 61149 KachelY + 1 76302 -0.21029918 -0.49459542 -12.049255 -28.338230
    Unten rechts KachelX + 1 61150 KachelY + 1 76302 -0.21025124 -0.49459542 -12.046509 -28.338230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49455323--0.49459542) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dl = 268.792489999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49455323--0.49459542) × R
    4.21899999999975e-05 × 6371000     		dr = 268.792489999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21029918--0.21025124) × cos(-0.49455323) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880180851897596 × 6371000     		do = 268.829888024633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21029918--0.21025124) × cos(-0.49459542) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.880160826117605 × 6371000     		du = 268.82377163596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49455323)-sin(-0.49459542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880180851897596-0.880160826117605)×R²
    abs(-0.21025124--0.21029918)×2.00257799913839e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.00257799913839e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.00257799913839e-05×40589641000000     		ar = 72258.6329796399m²