Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61148 / 76510
↖ ↑ ↗
← S 28.839862°
W 12.052002°		 ← 267.54 m → S 28.839862°
W 12.049255°		 →
↑
267.52 m
↓
↑
267.52 m
↓
S 28.842268°
W 12.052002°		 ← 267.54 m →
71 572 m²		 S 28.842268°
W 12.049255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466526031494141 y=0.583728790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466526031494141 × 217)
    floor (0.466526031494141 × 131072)
    floor (61148.5)     		tx = 61148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583728790283203 × 217)
    floor (0.583728790283203 × 131072)
    floor (76510.5)     		ty = 76510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61148 / 76510 ti = "17/61148/76510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61148/76510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61148 ÷ 217
    61148 ÷ 131072     		x = 0.466522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76510 ÷ 217
    76510 ÷ 131072     		y = 0.583724975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.06695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21034712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583724975585938 × 2 - 1) × π
    -0.167449951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.526059536430496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21034712} λ = -0.21034712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526059536430496))-π/2
    2×atan(0.590928921835559)-π/2
    2×0.533722890084967-π/2
    1.06744578016993-1.57079632675     		φ = -0.50335055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21034712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.052002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50335055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.839862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61148 KachelY 76510 -0.21034712 -0.50335055 -12.052002 -28.839862
    Oben rechts KachelX + 1 61149 KachelY 76510 -0.21029918 -0.50335055 -12.049255 -28.839862
    Unten links KachelX 61148 KachelY + 1 76511 -0.21034712 -0.50339254 -12.052002 -28.842268
    Unten rechts KachelX + 1 61149 KachelY + 1 76511 -0.21029918 -0.50339254 -12.049255 -28.842268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50335055--0.50339254) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dl = 267.518290000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50335055--0.50339254) × R
    4.19900000000473e-05 × 6371000     		dr = 267.518290000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21034712--0.21029918) × cos(-0.50335055) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.87597129970989 × 6371000     		do = 267.544182432634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21034712--0.21029918) × cos(-0.50339254) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.875951044505785 × 6371000     		du = 267.537995971932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50335055)-sin(-0.50339254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87597129970989-0.875951044505785)×R²
    abs(-0.21029918--0.21034712)×2.02552041052018e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.02552041052018e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.02552041052018e-05×40589641000000     		ar = 71572.1346987853m²