Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61148 / 32294
↖ ↑ ↗
← N 67.026731°
W 12.052002°		 ← 119.21 m → N 67.026731°
W 12.049255°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
N 67.025659°
W 12.052002°		 ← 119.21 m →
14 210 m²		 N 67.025659°
W 12.049255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466526031494141 y=0.246387481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466526031494141 × 217)
    floor (0.466526031494141 × 131072)
    floor (61148.5)     		tx = 61148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246387481689453 × 217)
    floor (0.246387481689453 × 131072)
    floor (32294.5)     		ty = 32294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61148 / 32294 ti = "17/61148/32294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61148/32294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61148 ÷ 217
    61148 ÷ 131072     		x = 0.466522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32294 ÷ 217
    32294 ÷ 131072     		y = 0.246383666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.06695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21034712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246383666992188 × 2 - 1) × π
    0.507232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59351841716991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21034712} λ = -0.21034712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59351841716991))-π/2
    2×atan(4.92103275077171)-π/2
    2×1.37031674062794-π/2
    2.74063348125588-1.57079632675     		φ = 1.16983715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21034712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.052002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16983715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.026731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61148 KachelY 32294 -0.21034712 1.16983715 -12.052002 67.026731
    Oben rechts KachelX + 1 61149 KachelY 32294 -0.21029918 1.16983715 -12.049255 67.026731
    Unten links KachelX 61148 KachelY + 1 32295 -0.21034712 1.16981844 -12.052002 67.025659
    Unten rechts KachelX + 1 61149 KachelY + 1 32295 -0.21029918 1.16981844 -12.049255 67.025659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16983715-1.16981844) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16983715-1.16981844) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21034712--0.21029918) × cos(1.16983715) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390301623368974 × 6371000     		do = 119.208162140661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21034712--0.21029918) × cos(1.16981844) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.39031884935535 × 6371000     		du = 119.213423400297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16983715)-sin(1.16981844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390301623368974-0.39031884935535)×R²
    abs(-0.21029918--0.21034712)×1.72259863766011e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.72259863766011e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.72259863766011e-05×40589641000000     		ar = 14210.0945858523m²