Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61147 / 41209
↖ ↑ ↗
← N 55.390032°
W 12.054748°		 ← 173.44 m → N 55.390032°
W 12.052002°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
N 55.388472°
W 12.054748°		 ← 173.45 m →
30 079 m²		 N 55.388472°
W 12.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466518402099609 y=0.314403533935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466518402099609 × 217)
    floor (0.466518402099609 × 131072)
    floor (61147.5)     		tx = 61147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314403533935547 × 217)
    floor (0.314403533935547 × 131072)
    floor (41209.5)     		ty = 41209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61147 / 41209 ti = "17/61147/41209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61147/41209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61147 ÷ 217
    61147 ÷ 131072     		x = 0.466514587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41209 ÷ 217
    41209 ÷ 131072     		y = 0.314399719238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466514587402344 × 2 - 1) × π
    -0.0669708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21039505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314399719238281 × 2 - 1) × π
    0.371200561523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.16616095705711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21039505} λ = -0.21039505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16616095705711))-π/2
    2×atan(3.20964698334049)-π/2
    2×1.2687673799848-π/2
    2.53753475996961-1.57079632675     		φ = 0.96673843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21039505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.054748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96673843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.390032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61147 KachelY 41209 -0.21039505 0.96673843 -12.054748 55.390032
    Oben rechts KachelX + 1 61148 KachelY 41209 -0.21034712 0.96673843 -12.052002 55.390032
    Unten links KachelX 61147 KachelY + 1 41210 -0.21039505 0.96671121 -12.054748 55.388472
    Unten rechts KachelX + 1 61148 KachelY + 1 41210 -0.21034712 0.96671121 -12.052002 55.388472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96673843-0.96671121) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96673843-0.96671121) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21039505--0.21034712) × cos(0.96673843) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.567986942106367 × 6371000     		do = 173.441645655099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21039505--0.21034712) × cos(0.96671121) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.568009344978468 × 6371000     		du = 173.448486641601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96673843)-sin(0.96671121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.567986942106367-0.568009344978468)×R²
    abs(-0.21034712--0.21039505)×2.24028721008684e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24028721008684e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24028721008684e-05×40589641000000     		ar = 30078.6040190259m²