Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61147 / 32296
↖ ↑ ↗
← N 67.024587°
W 12.054748°		 ← 119.19 m → N 67.024587°
W 12.052002°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
N 67.023515°
W 12.054748°		 ← 119.20 m →
14 208 m²		 N 67.023515°
W 12.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466518402099609 y=0.246402740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466518402099609 × 217)
    floor (0.466518402099609 × 131072)
    floor (61147.5)     		tx = 61147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246402740478516 × 217)
    floor (0.246402740478516 × 131072)
    floor (32296.5)     		ty = 32296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61147 / 32296 ti = "17/61147/32296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61147/32296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61147 ÷ 217
    61147 ÷ 131072     		x = 0.466514587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32296 ÷ 217
    32296 ÷ 131072     		y = 0.24639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466514587402344 × 2 - 1) × π
    -0.0669708251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21039505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24639892578125 × 2 - 1) × π
    0.5072021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59342254337067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21039505} λ = -0.21039505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59342254337067))-π/2
    2×atan(4.92056097528153)-π/2
    2×1.37029802995262-π/2
    2.74059605990524-1.57079632675     		φ = 1.16979973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21039505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.054748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16979973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.024587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61147 KachelY 32296 -0.21039505 1.16979973 -12.054748 67.024587
    Oben rechts KachelX + 1 61148 KachelY 32296 -0.21034712 1.16979973 -12.052002 67.024587
    Unten links KachelX 61147 KachelY + 1 32297 -0.21039505 1.16978102 -12.054748 67.023515
    Unten rechts KachelX + 1 61148 KachelY + 1 32297 -0.21034712 1.16978102 -12.052002 67.023515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16979973-1.16978102) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16979973-1.16978102) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21039505--0.21034712) × cos(1.16979973) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.39033607520509 × 6371000     		do = 119.193816306863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21039505--0.21034712) × cos(1.16978102) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.390353300918187 × 6371000     		du = 119.199076385582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16979973)-sin(1.16978102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39033607520509-0.390353300918187)×R²
    abs(-0.21034712--0.21039505)×1.7225713097313e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.7225713097313e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.7225713097313e-05×40589641000000     		ar = 14208.384471798m²