Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61145 / 32298
↖ ↑ ↗
← N 67.022443°
W 12.060242°		 ← 119.23 m → N 67.022443°
W 12.057495°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
N 67.021371°
W 12.060242°		 ← 119.23 m →
14 220 m²		 N 67.021371°
W 12.057495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466503143310547 y=0.246417999267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466503143310547 × 217)
    floor (0.466503143310547 × 131072)
    floor (61145.5)     		tx = 61145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246417999267578 × 217)
    floor (0.246417999267578 × 131072)
    floor (32298.5)     		ty = 32298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61145 / 32298 ti = "17/61145/32298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61145/32298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61145 ÷ 217
    61145 ÷ 131072     		x = 0.466499328613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32298 ÷ 217
    32298 ÷ 131072     		y = 0.246414184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466499328613281 × 2 - 1) × π
    -0.0670013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21049093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246414184570312 × 2 - 1) × π
    0.507171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59332666957143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21049093} λ = -0.21049093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59332666957143))-π/2
    2×atan(4.92008924502008)-π/2
    2×1.37027931762567-π/2
    2.74055863525133-1.57079632675     		φ = 1.16976231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21049093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.060242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16976231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.022443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61145 KachelY 32298 -0.21049093 1.16976231 -12.060242 67.022443
    Oben rechts KachelX + 1 61146 KachelY 32298 -0.21044299 1.16976231 -12.057495 67.022443
    Unten links KachelX 61145 KachelY + 1 32299 -0.21049093 1.16974359 -12.060242 67.021371
    Unten rechts KachelX + 1 61146 KachelY + 1 32299 -0.21044299 1.16974359 -12.057495 67.021371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16976231-1.16974359) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dl = 119.265120000883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16976231-1.16974359) × R
    1.87200000001386e-05 × 6371000     		dr = 119.265120000883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21049093--0.21044299) × cos(1.16976231) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390370526494636 × 6371000     		do = 119.229206928805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21049093--0.21044299) × cos(1.16974359) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390387761140935 × 6371000     		du = 119.234470833404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16976231)-sin(1.16974359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390370526494636-0.390387761140935)×R²
    abs(-0.21044299--0.21049093)×1.723464629938e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.723464629938e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.723464629938e-05×40589641000000     		ar = 14220.1995724802m²