Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61144 / 40536
↖ ↑ ↗
← N 56.426054°
W 12.062988°		 ← 168.87 m → N 56.426054°
W 12.060242°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.424535°
W 12.062988°		 ← 168.88 m →
28 522 m²		 N 56.424535°
W 12.060242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466495513916016 y=0.309268951416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466495513916016 × 217)
    floor (0.466495513916016 × 131072)
    floor (61144.5)     		tx = 61144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309268951416016 × 217)
    floor (0.309268951416016 × 131072)
    floor (40536.5)     		ty = 40536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61144 / 40536 ti = "17/61144/40536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61144/40536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61144 ÷ 217
    61144 ÷ 131072     		x = 0.46649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40536 ÷ 217
    40536 ÷ 131072     		y = 0.30926513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21053886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30926513671875 × 2 - 1) × π
    0.3814697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1984224905014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21053886} λ = -0.21053886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1984224905014))-π/2
    2×atan(3.31488353569865)-π/2
    2×1.27780838064635-π/2
    2.55561676129271-1.57079632675     		φ = 0.98482043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21053886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98482043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.426054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61144 KachelY 40536 -0.21053886 0.98482043 -12.062988 56.426054
    Oben rechts KachelX + 1 61145 KachelY 40536 -0.21049093 0.98482043 -12.060242 56.426054
    Unten links KachelX 61144 KachelY + 1 40537 -0.21053886 0.98479392 -12.062988 56.424535
    Unten rechts KachelX + 1 61145 KachelY + 1 40537 -0.21049093 0.98479392 -12.060242 56.424535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98482043-0.98479392) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98482043-0.98479392) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21053886--0.21049093) × cos(0.98482043) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553012736203267 × 6371000     		do = 168.86909174289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21053886--0.21049093) × cos(0.98479392) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553034823419853 × 6371000     		du = 168.875836340183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98482043)-sin(0.98479392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553012736203267-0.553034823419853)×R²
    abs(-0.21049093--0.21053886)×2.20872165852537e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20872165852537e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20872165852537e-05×40589641000000     		ar = 28521.7502792081m²