Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61143 / 14041
↖ ↑ ↗
← N 71.143419°
E155.868530°		 ← 197.43 m → N 71.143419°
E155.874024°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
N 71.141644°
E155.868530°		 ← 197.45 m →
38 981 m²		 N 71.141644°
E155.874024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932975769042969 y=0.214256286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932975769042969 × 216)
    floor (0.932975769042969 × 65536)
    floor (61143.5)     		tx = 61143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214256286621094 × 216)
    floor (0.214256286621094 × 65536)
    floor (14041.5)     		ty = 14041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61143 / 14041 ti = "16/61143/14041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61143/14041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61143 ÷ 216
    61143 ÷ 65536     		x = 0.932968139648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14041 ÷ 216
    14041 ÷ 65536     		y = 0.214248657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932968139648438 × 2 - 1) × π
    0.865936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72041905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214248657226562 × 2 - 1) × π
    0.571502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79542863836958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72041905} λ = 2.72041905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79542863836958))-π/2
    2×atan(6.02205545269838)-π/2
    2×1.40624161826106-π/2
    2.81248323652213-1.57079632675     		φ = 1.24168691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72041905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.868530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24168691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.143419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61143 KachelY 14041 2.72041905 1.24168691 155.868530 71.143419
    Oben rechts KachelX + 1 61144 KachelY 14041 2.72051493 1.24168691 155.874024 71.143419
    Unten links KachelX 61143 KachelY + 1 14042 2.72041905 1.24165592 155.868530 71.141644
    Unten rechts KachelX + 1 61144 KachelY + 1 14042 2.72051493 1.24165592 155.874024 71.141644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24168691-1.24165592) × R
    3.0990000000175e-05 × 6371000     		dl = 197.437290001115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24168691-1.24165592) × R
    3.0990000000175e-05 × 6371000     		dr = 197.437290001115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72041905-2.72051493) × cos(1.24168691) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.323200370578296 × 6371000     		do = 197.427424705085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72041905-2.72051493) × cos(1.24165592) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.323229697207011 × 6371000     		du = 197.44533891964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24168691)-sin(1.24165592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323200370578296-0.323229697207011)×R²
    abs(2.72051493-2.72041905)×2.93266287158533e-05×R²
    9.58800000003812e-05×2.93266287158533e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.93266287158533e-05×40589641000000     		ar = 38981.3041757889m²