Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61142 / 32297
↖ ↑ ↗
← N 67.023515°
W 12.068482°		 ← 119.22 m → N 67.023515°
W 12.065735°		 →
↑
119.20 m
↓
↑
119.20 m
↓
N 67.022443°
W 12.068482°		 ← 119.23 m →
14 212 m²		 N 67.022443°
W 12.065735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466480255126953 y=0.246410369873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466480255126953 × 217)
    floor (0.466480255126953 × 131072)
    floor (61142.5)     		tx = 61142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246410369873047 × 217)
    floor (0.246410369873047 × 131072)
    floor (32297.5)     		ty = 32297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61142 / 32297 ti = "17/61142/32297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61142/32297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61142 ÷ 217
    61142 ÷ 131072     		x = 0.466476440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32297 ÷ 217
    32297 ÷ 131072     		y = 0.246406555175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466476440429688 × 2 - 1) × π
    -0.067047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21063474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246406555175781 × 2 - 1) × π
    0.507186889648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.59337460647105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21063474} λ = -0.21063474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59337460647105))-π/2
    2×atan(4.92032510449748)-π/2
    2×1.37028867399561-π/2
    2.74057734799121-1.57079632675     		φ = 1.16978102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21063474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.068482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16978102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.023515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61142 KachelY 32297 -0.21063474 1.16978102 -12.068482 67.023515
    Oben rechts KachelX + 1 61143 KachelY 32297 -0.21058680 1.16978102 -12.065735 67.023515
    Unten links KachelX 61142 KachelY + 1 32298 -0.21063474 1.16976231 -12.068482 67.022443
    Unten rechts KachelX + 1 61143 KachelY + 1 32298 -0.21058680 1.16976231 -12.065735 67.022443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16978102-1.16976231) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dl = 119.201409999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16978102-1.16976231) × R
    1.87099999999774e-05 × 6371000     		dr = 119.201409999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21063474--0.21058680) × cos(1.16978102) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390353300918187 × 6371000     		do = 119.223945794371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21063474--0.21058680) × cos(1.16976231) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.390370526494636 × 6371000     		du = 119.229206928805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16978102)-sin(1.16976231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390353300918187-0.390370526494636)×R²
    abs(-0.21058680--0.21063474)×1.72255764486207e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.72255764486207e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.72255764486207e-05×40589641000000     		ar = 14211.9760122028m²