Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61142 / 14040
↖ ↑ ↗
← N 71.145194°
E155.863037°		 ← 197.39 m → N 71.145194°
E155.868530°		 →
↑
197.37 m
↓
↑
197.37 m
↓
N 71.143419°
E155.863037°		 ← 197.41 m →
38 961 m²		 N 71.143419°
E155.868530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932960510253906 y=0.214241027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932960510253906 × 216)
    floor (0.932960510253906 × 65536)
    floor (61142.5)     		tx = 61142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214241027832031 × 216)
    floor (0.214241027832031 × 65536)
    floor (14040.5)     		ty = 14040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61142 / 14040 ti = "16/61142/14040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61142/14040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61142 ÷ 216
    61142 ÷ 65536     		x = 0.932952880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14040 ÷ 216
    14040 ÷ 65536     		y = 0.2142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932952880859375 × 2 - 1) × π
    0.86590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.72032318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2142333984375 × 2 - 1) × π
    0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72032318} λ = 2.72032318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79552451216882))-π/2
    2×atan(6.02263283771147)-π/2
    2×1.40625711078198-π/2
    2.81251422156396-1.57079632675     		φ = 1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72032318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.863037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61142 KachelY 14040 2.72032318 1.24171789 155.863037 71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 61143 KachelY 14040 2.72041905 1.24171789 155.868530 71.145194
    Unten links KachelX 61142 KachelY + 1 14041 2.72032318 1.24168691 155.863037 71.143419
    Unten rechts KachelX + 1 61143 KachelY + 1 14041 2.72041905 1.24168691 155.868530 71.143419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24171789-1.24168691) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dl = 197.373580000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24171789-1.24168691) × R
    3.09800000000138e-05 × 6371000     		dr = 197.373580000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72032318-2.72041905) × cos(1.24171789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 197.388926853078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72032318-2.72041905) × cos(1.24168691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323200370578296 × 6371000     		du = 197.406833608686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24171789)-sin(1.24168691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323200370578296)×R²
    abs(2.72041905-2.72032318)×2.93174757051706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93174757051706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93174757051706e-05×40589641000000     		ar = 38961.1263087167m²