Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61141 / 76526
↖ ↑ ↗
← S 28.878349°
W 12.071228°		 ← 267.39 m → S 28.878349°
W 12.068482°		 →
↑
267.45 m
↓
↑
267.45 m
↓
S 28.880755°
W 12.071228°		 ← 267.38 m →
71 514 m²		 S 28.880755°
W 12.068482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466472625732422 y=0.583850860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466472625732422 × 217)
    floor (0.466472625732422 × 131072)
    floor (61141.5)     		tx = 61141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583850860595703 × 217)
    floor (0.583850860595703 × 131072)
    floor (76526.5)     		ty = 76526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61141 / 76526 ti = "17/61141/76526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61141/76526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61141 ÷ 217
    61141 ÷ 131072     		x = 0.466468811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76526 ÷ 217
    76526 ÷ 131072     		y = 0.583847045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466468811035156 × 2 - 1) × π
    -0.0670623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21068267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583847045898438 × 2 - 1) × π
    -0.167694091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.526826526824417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21068267} λ = -0.21068267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.526826526824417))-π/2
    2×atan(0.59047585879873)-π/2
    2×0.533387021457641-π/2
    1.06677404291528-1.57079632675     		φ = -0.50402228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21068267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.071228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50402228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.878349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61141 KachelY 76526 -0.21068267 -0.50402228 -12.071228 -28.878349
    Oben rechts KachelX + 1 61142 KachelY 76526 -0.21063474 -0.50402228 -12.068482 -28.878349
    Unten links KachelX 61141 KachelY + 1 76527 -0.21068267 -0.50406426 -12.071228 -28.880755
    Unten rechts KachelX + 1 61142 KachelY + 1 76527 -0.21063474 -0.50406426 -12.068482 -28.880755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50402228--0.50406426) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dl = 267.454579999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50402228--0.50406426) × R
    4.1979999999997e-05 × 6371000     		dr = 267.454579999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21068267--0.21063474) × cos(-0.50402228) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.875647084255856 × 6371000     		do = 267.389371211958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21068267--0.21063474) × cos(-0.50406426) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.875626809178895 × 6371000     		du = 267.383179973299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50402228)-sin(-0.50406426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875647084255856-0.875626809178895)×R²
    abs(-0.21063474--0.21068267)×2.02750769611182e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.02750769611182e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.02750769611182e-05×40589641000000     		ar = 71513.6840469587m²