Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61140 / 34165
↖ ↑ ↗
← N 64.936344°
W 12.073975°		 ← 129.39 m → N 64.936344°
W 12.071228°		 →
↑
129.40 m
↓
↑
129.40 m
↓
N 64.935180°
W 12.073975°		 ← 129.39 m →
16 742 m²		 N 64.935180°
W 12.071228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466464996337891 y=0.260662078857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466464996337891 × 217)
    floor (0.466464996337891 × 131072)
    floor (61140.5)     		tx = 61140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260662078857422 × 217)
    floor (0.260662078857422 × 131072)
    floor (34165.5)     		ty = 34165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61140 / 34165 ti = "17/61140/34165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61140/34165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61140 ÷ 217
    61140 ÷ 131072     		x = 0.466461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34165 ÷ 217
    34165 ÷ 131072     		y = 0.260658264160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.06707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21073061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260658264160156 × 2 - 1) × π
    0.478683471679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.50382847798078
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21073061} λ = -0.21073061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50382847798078))-π/2
    2×atan(4.49888000481999)-π/2
    2×1.35207466276202-π/2
    2.70414932552404-1.57079632675     		φ = 1.13335300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21073061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.073975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13335300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.936344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61140 KachelY 34165 -0.21073061 1.13335300 -12.073975 64.936344
    Oben rechts KachelX + 1 61141 KachelY 34165 -0.21068267 1.13335300 -12.071228 64.936344
    Unten links KachelX 61140 KachelY + 1 34166 -0.21073061 1.13333269 -12.073975 64.935180
    Unten rechts KachelX + 1 61141 KachelY + 1 34166 -0.21068267 1.13333269 -12.071228 64.935180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13335300-1.13333269) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dl = 129.395010000149m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13335300-1.13333269) × R
    2.03100000000234e-05 × 6371000     		dr = 129.395010000149m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21073061--0.21068267) × cos(1.13335300) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.423624921158906 × 6371000     		do = 129.385955027466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21073061--0.21068267) × cos(1.13333269) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.423643318635079 × 6371000     		du = 129.39157409024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13335300)-sin(1.13333269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423624921158906-0.423643318635079)×R²
    abs(-0.21068267--0.21073061)×1.83974761730488e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83974761730488e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83974761730488e-05×40589641000000     		ar = 16742.2604845471m²