Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61137 / 34225
↖ ↑ ↗
← N 64.866441°
W 12.082214°		 ← 129.72 m → N 64.866441°
W 12.079468°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 64.865274°
W 12.082214°		 ← 129.73 m →
16 827 m²		 N 64.865274°
W 12.079468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466442108154297 y=0.261119842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466442108154297 × 217)
    floor (0.466442108154297 × 131072)
    floor (61137.5)     		tx = 61137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261119842529297 × 217)
    floor (0.261119842529297 × 131072)
    floor (34225.5)     		ty = 34225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61137 / 34225 ti = "17/61137/34225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61137/34225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61137 ÷ 217
    61137 ÷ 131072     		x = 0.466438293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34225 ÷ 217
    34225 ÷ 131072     		y = 0.261116027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466438293457031 × 2 - 1) × π
    -0.0671234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21087442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261116027832031 × 2 - 1) × π
    0.477767944335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.50095226400358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21087442} λ = -0.21087442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50095226400358))-π/2
    2×atan(4.48595885417305)-π/2
    2×1.35146465063918-π/2
    2.70292930127836-1.57079632675     		φ = 1.13213297
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21087442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.082214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13213297 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.866441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61137 KachelY 34225 -0.21087442 1.13213297 -12.082214 64.866441
    Oben rechts KachelX + 1 61138 KachelY 34225 -0.21082648 1.13213297 -12.079468 64.866441
    Unten links KachelX 61137 KachelY + 1 34226 -0.21087442 1.13211261 -12.082214 64.865274
    Unten rechts KachelX + 1 61138 KachelY + 1 34226 -0.21082648 1.13211261 -12.079468 64.865274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13213297-1.13211261) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13213297-1.13211261) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21087442--0.21082648) × cos(1.13213297) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424729754768278 × 6371000     		do = 129.72339965011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21087442--0.21082648) × cos(1.13211261) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424748186999189 × 6371000     		du = 129.729029327876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13213297)-sin(1.13211261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424729754768278-0.424748186999189)×R²
    abs(-0.21082648--0.21087442)×1.84322309118023e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84322309118023e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84322309118023e-05×40589641000000     		ar = 16827.249107298m²