Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61137 / 34163
↖ ↑ ↗
← N 64.938670°
W 12.082214°		 ← 129.37 m → N 64.938670°
W 12.079468°		 →
↑
129.33 m
↓
↑
129.33 m
↓
N 64.937507°
W 12.082214°		 ← 129.38 m →
16 733 m²		 N 64.937507°
W 12.079468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466442108154297 y=0.260646820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466442108154297 × 217)
    floor (0.466442108154297 × 131072)
    floor (61137.5)     		tx = 61137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260646820068359 × 217)
    floor (0.260646820068359 × 131072)
    floor (34163.5)     		ty = 34163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61137 / 34163 ti = "17/61137/34163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61137/34163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61137 ÷ 217
    61137 ÷ 131072     		x = 0.466438293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34163 ÷ 217
    34163 ÷ 131072     		y = 0.260643005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466438293457031 × 2 - 1) × π
    -0.0671234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21087442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260643005371094 × 2 - 1) × π
    0.478713989257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50392435178002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21087442} λ = -0.21087442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50392435178002))-π/2
    2×atan(4.49931135021541)-π/2
    2×1.35209496914561-π/2
    2.70418993829123-1.57079632675     		φ = 1.13339361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21087442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.082214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13339361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.938670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61137 KachelY 34163 -0.21087442 1.13339361 -12.082214 64.938670
    Oben rechts KachelX + 1 61138 KachelY 34163 -0.21082648 1.13339361 -12.079468 64.938670
    Unten links KachelX 61137 KachelY + 1 34164 -0.21087442 1.13337331 -12.082214 64.937507
    Unten rechts KachelX + 1 61138 KachelY + 1 34164 -0.21082648 1.13337331 -12.079468 64.937507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13339361-1.13337331) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dl = 129.331299999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13339361-1.13337331) × R
    2.02999999998621e-05 × 6371000     		dr = 129.331299999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21087442--0.21082648) × cos(1.13339361) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423588134740886 × 6371000     		do = 129.374719508445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21087442--0.21082648) × cos(1.13337331) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42360652350799 × 6371000     		du = 129.380335911245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13339361)-sin(1.13337331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423588134740886-0.42360652350799)×R²
    abs(-0.21082648--0.21087442)×1.83887671035832e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83887671035832e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83887671035832e-05×40589641000000     		ar = 16732.5638498982m²