Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61134 / 40372
↖ ↑ ↗
← N 56.674339°
W 12.090454°		 ← 167.77 m → N 56.674339°
W 12.087708°		 →
↑
167.81 m
↓
↑
167.81 m
↓
N 56.672829°
W 12.090454°		 ← 167.77 m →
28 154 m²		 N 56.672829°
W 12.087708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466419219970703 y=0.308017730712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466419219970703 × 217)
    floor (0.466419219970703 × 131072)
    floor (61134.5)     		tx = 61134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308017730712891 × 217)
    floor (0.308017730712891 × 131072)
    floor (40372.5)     		ty = 40372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61134 / 40372 ti = "17/61134/40372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61134/40372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61134 ÷ 217
    61134 ÷ 131072     		x = 0.466415405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40372 ÷ 217
    40372 ÷ 131072     		y = 0.308013916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466415405273438 × 2 - 1) × π
    -0.067169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21101823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308013916015625 × 2 - 1) × π
    0.38397216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20628414203909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21101823} λ = -0.21101823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20628414203909))-π/2
    2×atan(3.34104670304443)-π/2
    2×1.27997506676372-π/2
    2.55995013352743-1.57079632675     		φ = 0.98915381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21101823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.090454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98915381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.674339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61134 KachelY 40372 -0.21101823 0.98915381 -12.090454 56.674339
    Oben rechts KachelX + 1 61135 KachelY 40372 -0.21097030 0.98915381 -12.087708 56.674339
    Unten links KachelX 61134 KachelY + 1 40373 -0.21101823 0.98912747 -12.090454 56.672829
    Unten rechts KachelX + 1 61135 KachelY + 1 40373 -0.21097030 0.98912747 -12.087708 56.672829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98915381-0.98912747) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dl = 167.812140000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98915381-0.98912747) × R
    2.63400000000136e-05 × 6371000     		dr = 167.812140000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21101823--0.21097030) × cos(0.98915381) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549397100878744 × 6371000     		do = 167.765014000453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21101823--0.21097030) × cos(0.98912747) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.549419109374997 × 6371000     		du = 167.771734559547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98915381)-sin(0.98912747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549397100878744-0.549419109374997)×R²
    abs(-0.21097030--0.21101823)×2.2008496253445e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.2008496253445e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.2008496253445e-05×40589641000000     		ar = 28153.56991403m²