Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61132 / 34106
↖ ↑ ↗
← N 65.004903°
W 12.095947°		 ← 129.05 m → N 65.004903°
W 12.093201°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 65.003743°
W 12.095947°		 ← 129.06 m →
16 650 m²		 N 65.003743°
W 12.093201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466403961181641 y=0.260211944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466403961181641 × 217)
    floor (0.466403961181641 × 131072)
    floor (61132.5)     		tx = 61132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260211944580078 × 217)
    floor (0.260211944580078 × 131072)
    floor (34106.5)     		ty = 34106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61132 / 34106 ti = "17/61132/34106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61132/34106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61132 ÷ 217
    61132 ÷ 131072     		x = 0.466400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34106 ÷ 217
    34106 ÷ 131072     		y = 0.260208129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.06719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21111411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260208129882812 × 2 - 1) × π
    0.479583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50665675505836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21111411} λ = -0.21111411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50665675505836))-π/2
    2×atan(4.51162209459882)-π/2
    2×1.35267296021329-π/2
    2.70534592042657-1.57079632675     		φ = 1.13454959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21111411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.095947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13454959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.004903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61132 KachelY 34106 -0.21111411 1.13454959 -12.095947 65.004903
    Oben rechts KachelX + 1 61133 KachelY 34106 -0.21106617 1.13454959 -12.093201 65.004903
    Unten links KachelX 61132 KachelY + 1 34107 -0.21111411 1.13452934 -12.095947 65.003743
    Unten rechts KachelX + 1 61133 KachelY + 1 34107 -0.21106617 1.13452934 -12.093201 65.003743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13454959-1.13452934) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dl = 129.012749999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13454959-1.13452934) × R
    2.02499999999439e-05 × 6371000     		dr = 129.012749999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21111411--0.21106617) × cos(1.13454959) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422540701813531 × 6371000     		do = 129.054806531507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21111411--0.21106617) × cos(1.13452934) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422559055191879 × 6371000     		du = 129.060412125671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13454959)-sin(1.13452934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422540701813531-0.422559055191879)×R²
    abs(-0.21106617--0.21111411)×1.83533783477685e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83533783477685e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83533783477685e-05×40589641000000     		ar = 16650.0770882322m²