Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61131 / 32334
↖ ↑ ↗
← N 66.983814°
W 12.098694°		 ← 119.39 m → N 66.983814°
W 12.095947°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
N 66.982740°
W 12.098694°		 ← 119.40 m →
14 255 m²		 N 66.982740°
W 12.095947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466396331787109 y=0.246692657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466396331787109 × 217)
    floor (0.466396331787109 × 131072)
    floor (61131.5)     		tx = 61131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246692657470703 × 217)
    floor (0.246692657470703 × 131072)
    floor (32334.5)     		ty = 32334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61131 / 32334 ti = "17/61131/32334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61131/32334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61131 ÷ 217
    61131 ÷ 131072     		x = 0.466392517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32334 ÷ 217
    32334 ÷ 131072     		y = 0.246688842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466392517089844 × 2 - 1) × π
    -0.0672149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21116204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246688842773438 × 2 - 1) × π
    0.506622314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5916009411851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21116204} λ = -0.21116204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5916009411851))-π/2
    2×atan(4.91160582948761)-π/2
    2×1.3699422131748-π/2
    2.73988442634961-1.57079632675     		φ = 1.16908810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21116204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.098694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16908810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.983814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61131 KachelY 32334 -0.21116204 1.16908810 -12.098694 66.983814
    Oben rechts KachelX + 1 61132 KachelY 32334 -0.21111411 1.16908810 -12.095947 66.983814
    Unten links KachelX 61131 KachelY + 1 32335 -0.21116204 1.16906936 -12.098694 66.982740
    Unten rechts KachelX + 1 61132 KachelY + 1 32335 -0.21111411 1.16906936 -12.095947 66.982740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16908810-1.16906936) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16908810-1.16906936) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21116204--0.21111411) × cos(1.16908810) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.390991154444368 × 6371000     		do = 119.39385263318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21116204--0.21111411) × cos(1.16906936) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.391008402567435 × 6371000     		du = 119.399119555053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16908810)-sin(1.16906936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390991154444368-0.391008402567435)×R²
    abs(-0.21111411--0.21116204)×1.72481230671928e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.72481230671928e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72481230671928e-05×40589641000000     		ar = 14255.0497422494m²