Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61131 / 32332
↖ ↑ ↗
← N 66.985961°
W 12.098694°		 ← 119.38 m → N 66.985961°
W 12.095947°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
N 66.984888°
W 12.098694°		 ← 119.39 m →
14 254 m²		 N 66.984888°
W 12.095947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466396331787109 y=0.246677398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466396331787109 × 217)
    floor (0.466396331787109 × 131072)
    floor (61131.5)     		tx = 61131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246677398681641 × 217)
    floor (0.246677398681641 × 131072)
    floor (32332.5)     		ty = 32332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61131 / 32332 ti = "17/61131/32332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61131/32332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61131 ÷ 217
    61131 ÷ 131072     		x = 0.466392517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32332 ÷ 217
    32332 ÷ 131072     		y = 0.246673583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466392517089844 × 2 - 1) × π
    -0.0672149658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21116204
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246673583984375 × 2 - 1) × π
    0.50665283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59169681498434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21116204} λ = -0.21116204}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59169681498434))-π/2
    2×atan(4.91207674637279)-π/2
    2×1.36996095525161-π/2
    2.73992191050323-1.57079632675     		φ = 1.16912558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21116204} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.098694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16912558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.985961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61131 KachelY 32332 -0.21116204 1.16912558 -12.098694 66.985961
    Oben rechts KachelX + 1 61132 KachelY 32332 -0.21111411 1.16912558 -12.095947 66.985961
    Unten links KachelX 61131 KachelY + 1 32333 -0.21116204 1.16910684 -12.098694 66.984888
    Unten rechts KachelX + 1 61132 KachelY + 1 32333 -0.21111411 1.16910684 -12.095947 66.984888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16912558-1.16910684) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16912558-1.16910684) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21116204--0.21111411) × cos(1.16912558) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.390956657786306 × 6371000     		do = 119.383318663646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21116204--0.21111411) × cos(1.16910684) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.39097390618399 × 6371000     		du = 119.388585669377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16912558)-sin(1.16910684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390956657786306-0.39097390618399)×R²
    abs(-0.21111411--0.21116204)×1.7248397683578e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.7248397683578e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.7248397683578e-05×40589641000000     		ar = 14253.7920699315m²