Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61130 / 40935
↖ ↑ ↗
← N 55.815172°
W 12.101440°		 ← 171.61 m → N 55.815172°
W 12.098694°		 →
↑
171.63 m
↓
↑
171.63 m
↓
N 55.813629°
W 12.101440°		 ← 171.61 m →
29 454 m²		 N 55.813629°
W 12.098694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466388702392578 y=0.312313079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466388702392578 × 217)
    floor (0.466388702392578 × 131072)
    floor (61130.5)     		tx = 61130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312313079833984 × 217)
    floor (0.312313079833984 × 131072)
    floor (40935.5)     		ty = 40935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61130 / 40935 ti = "17/61130/40935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61130/40935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61130 ÷ 217
    61130 ÷ 131072     		x = 0.466384887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40935 ÷ 217
    40935 ÷ 131072     		y = 0.312309265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466384887695312 × 2 - 1) × π
    -0.067230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21120998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312309265136719 × 2 - 1) × π
    0.375381469726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.179295667553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21120998} λ = -0.21120998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.179295667553))-π/2
    2×atan(3.25208284857622)-π/2
    2×1.2724774280619-π/2
    2.5449548561238-1.57079632675     		φ = 0.97415853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21120998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.101440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97415853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.815172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61130 KachelY 40935 -0.21120998 0.97415853 -12.101440 55.815172
    Oben rechts KachelX + 1 61131 KachelY 40935 -0.21116204 0.97415853 -12.098694 55.815172
    Unten links KachelX 61130 KachelY + 1 40936 -0.21120998 0.97413159 -12.101440 55.813629
    Unten rechts KachelX + 1 61131 KachelY + 1 40936 -0.21116204 0.97413159 -12.098694 55.813629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97415853-0.97413159) × R
    2.69399999999198e-05 × 6371000     		dl = 171.634739999489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97415853-0.97413159) × R
    2.69399999999198e-05 × 6371000     		dr = 171.634739999489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21120998--0.21116204) × cos(0.97415853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56186434110137 × 6371000     		do = 171.607832160485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21120998--0.21116204) × cos(0.97413159) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561886626457219 × 6371000     		du = 171.614638681787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97415853)-sin(0.97413159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56186434110137-0.561886626457219)×R²
    abs(-0.21116204--0.21120998)×2.22853558493608e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22853558493608e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22853558493608e-05×40589641000000     		ar = 29454.4497743061m²