Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61130 / 34109
↖ ↑ ↗
← N 65.001421°
W 12.101440°		 ← 129.07 m → N 65.001421°
W 12.098694°		 →
↑
129.01 m
↓
↑
129.01 m
↓
N 65.000261°
W 12.101440°		 ← 129.08 m →
16 652 m²		 N 65.000261°
W 12.098694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466388702392578 y=0.260234832763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466388702392578 × 217)
    floor (0.466388702392578 × 131072)
    floor (61130.5)     		tx = 61130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260234832763672 × 217)
    floor (0.260234832763672 × 131072)
    floor (34109.5)     		ty = 34109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61130 / 34109 ti = "17/61130/34109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61130/34109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61130 ÷ 217
    61130 ÷ 131072     		x = 0.466384887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34109 ÷ 217
    34109 ÷ 131072     		y = 0.260231018066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466384887695312 × 2 - 1) × π
    -0.067230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21120998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260231018066406 × 2 - 1) × π
    0.479537963867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.5065129443595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21120998} λ = -0.21120998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5065129443595))-π/2
    2×atan(4.51097332172376)-π/2
    2×1.35264257529656-π/2
    2.70528515059311-1.57079632675     		φ = 1.13448882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21120998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.101440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13448882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.001421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61130 KachelY 34109 -0.21120998 1.13448882 -12.101440 65.001421
    Oben rechts KachelX + 1 61131 KachelY 34109 -0.21116204 1.13448882 -12.098694 65.001421
    Unten links KachelX 61130 KachelY + 1 34110 -0.21120998 1.13446857 -12.101440 65.000261
    Unten rechts KachelX + 1 61131 KachelY + 1 34110 -0.21116204 1.13446857 -12.098694 65.000261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13448882-1.13446857) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dl = 129.012750001057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13448882-1.13446857) × R
    2.0250000000166e-05 × 6371000     		dr = 129.012750001057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21120998--0.21116204) × cos(1.13448882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422595779555106 × 6371000     		do = 129.071628691485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21120998--0.21116204) × cos(1.13446857) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422614132413433 × 6371000     		du = 129.077234126821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13448882)-sin(1.13446857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422595779555106-0.422614132413433)×R²
    abs(-0.21116204--0.21120998)×1.83528583273529e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83528583273529e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83528583273529e-05×40589641000000     		ar = 16652.2473516507m²