Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6113 / 7583
↖ ↑ ↗
← N 13.261333°
W 45.681152°		 ← 2 378.06 m → N 13.261333°
W 45.659180°		 →
↑
2 378.23 m
↓
↑
2 378.23 m
↓
N 13.239945°
W 45.681152°		 ← 2 378.27 m →
5 655 833 m²		 N 13.239945°
W 45.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373138427734375 y=0.462860107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373138427734375 × 214)
    floor (0.373138427734375 × 16384)
    floor (6113.5)     		tx = 6113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462860107421875 × 214)
    floor (0.462860107421875 × 16384)
    floor (7583.5)     		ty = 7583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6113 / 7583 ti = "14/6113/7583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6113/7583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6113 ÷ 214
    6113 ÷ 16384     		x = 0.37310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7583 ÷ 214
    7583 ÷ 16384     		y = 0.46282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79728651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46282958984375 × 2 - 1) × π
    0.0743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.233548574948914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79728651} λ = -0.79728651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233548574948914))-π/2
    2×atan(1.26307418016458)-π/2
    2×0.901125126911384-π/2
    1.80225025382277-1.57079632675     		φ = 0.23145393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79728651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23145393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.261333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6113 KachelY 7583 -0.79728651 0.23145393 -45.681152 13.261333
    Oben rechts KachelX + 1 6114 KachelY 7583 -0.79690302 0.23145393 -45.659180 13.261333
    Unten links KachelX 6113 KachelY + 1 7584 -0.79728651 0.23108064 -45.681152 13.239945
    Unten rechts KachelX + 1 6114 KachelY + 1 7584 -0.79690302 0.23108064 -45.659180 13.239945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23145393-0.23108064) × R
    0.000373289999999998 × 6371000     		dl = 2378.23058999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23145393-0.23108064) × R
    0.000373289999999998 × 6371000     		dr = 2378.23058999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79728651--0.79690302) × cos(0.23145393) × R
    0.000383489999999931 × 0.973333902638789 × 6371000     		do = 2378.06378653508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79728651--0.79690302) × cos(0.23108064) × R
    0.000383489999999931 × 0.973419464906907 × 6371000     		du = 2378.27283353401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23145393)-sin(0.23108064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973333902638789-0.973419464906907)×R²
    abs(-0.79690302--0.79728651)×8.55622681187329e-05×R²
    0.000383489999999931×8.55622681187329e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.55622681187329e-05×40589641000000     		ar = 5655832.68876931m²