Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61129 / 40890
↖ ↑ ↗
← N 55.884555°
W 12.104187°		 ← 171.30 m → N 55.884555°
W 12.101440°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
N 55.883014°
W 12.104187°		 ← 171.31 m →
29 347 m²		 N 55.883014°
W 12.101440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466381072998047 y=0.311969757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466381072998047 × 217)
    floor (0.466381072998047 × 131072)
    floor (61129.5)     		tx = 61129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311969757080078 × 217)
    floor (0.311969757080078 × 131072)
    floor (40890.5)     		ty = 40890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61129 / 40890 ti = "17/61129/40890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61129/40890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61129 ÷ 217
    61129 ÷ 131072     		x = 0.466377258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40890 ÷ 217
    40890 ÷ 131072     		y = 0.311965942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466377258300781 × 2 - 1) × π
    -0.0672454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21125792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311965942382812 × 2 - 1) × π
    0.376068115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1814528280359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21125792} λ = -0.21125792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1814528280359))-π/2
    2×atan(3.25910568515376)-π/2
    2×1.27308290330518-π/2
    2.54616580661036-1.57079632675     		φ = 0.97536948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21125792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.104187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97536948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.884555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61129 KachelY 40890 -0.21125792 0.97536948 -12.104187 55.884555
    Oben rechts KachelX + 1 61130 KachelY 40890 -0.21120998 0.97536948 -12.101440 55.884555
    Unten links KachelX 61129 KachelY + 1 40891 -0.21125792 0.97534259 -12.104187 55.883014
    Unten rechts KachelX + 1 61130 KachelY + 1 40891 -0.21120998 0.97534259 -12.101440 55.883014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97536948-0.97534259) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dl = 171.31619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97536948-0.97534259) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dr = 171.31619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21125792--0.21120998) × cos(0.97536948) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5608621959586 × 6371000     		do = 171.301751238667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21125792--0.21120998) × cos(0.97534259) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560884458233461 × 6371000     		du = 171.308550710441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97536948)-sin(0.97534259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5608621959586-0.560884458233461)×R²
    abs(-0.21120998--0.21125792)×2.2262274861462e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2262274861462e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2262274861462e-05×40589641000000     		ar = 29347.3457939096m²