Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61126 / 40893
↖ ↑ ↗
← N 55.879933°
W 12.112427°		 ← 171.32 m → N 55.879933°
W 12.109680°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
N 55.878393°
W 12.112427°		 ← 171.33 m →
29 351 m²		 N 55.878393°
W 12.109680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466358184814453 y=0.311992645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466358184814453 × 217)
    floor (0.466358184814453 × 131072)
    floor (61126.5)     		tx = 61126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311992645263672 × 217)
    floor (0.311992645263672 × 131072)
    floor (40893.5)     		ty = 40893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61126 / 40893 ti = "17/61126/40893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61126/40893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61126 ÷ 217
    61126 ÷ 131072     		x = 0.466354370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40893 ÷ 217
    40893 ÷ 131072     		y = 0.311988830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466354370117188 × 2 - 1) × π
    -0.067291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21140173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311988830566406 × 2 - 1) × π
    0.376022338867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18130901733704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21140173} λ = -0.21140173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18130901733704))-π/2
    2×atan(3.25863702458753)-π/2
    2×1.27304257191211-π/2
    2.54608514382421-1.57079632675     		φ = 0.97528882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21140173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.112427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97528882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.879933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61126 KachelY 40893 -0.21140173 0.97528882 -12.112427 55.879933
    Oben rechts KachelX + 1 61127 KachelY 40893 -0.21135379 0.97528882 -12.109680 55.879933
    Unten links KachelX 61126 KachelY + 1 40894 -0.21140173 0.97526193 -12.112427 55.878393
    Unten rechts KachelX + 1 61127 KachelY + 1 40894 -0.21135379 0.97526193 -12.109680 55.878393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97528882-0.97526193) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dl = 171.316189999303m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97528882-0.97526193) × R
    2.68899999998906e-05 × 6371000     		dr = 171.316189999303m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21140173--0.21135379) × cos(0.97528882) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560928973287849 × 6371000     		do = 171.322146753868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21140173--0.21135379) × cos(0.97526193) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		du = 171.328945854068m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97528882)-sin(0.97526193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560928973287849-0.560951234346133)×R²
    abs(-0.21135379--0.21140173)×2.22610582842897e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22610582842897e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22610582842897e-05×40589641000000     		ar = 29350.8398441664m²