Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61125 / 40895
↖ ↑ ↗
← N 55.876852°
W 12.115173°		 ← 171.30 m → N 55.876852°
W 12.112427°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
N 55.875311°
W 12.115173°		 ← 171.31 m →
29 358 m²		 N 55.875311°
W 12.112427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466350555419922 y=0.312007904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466350555419922 × 217)
    floor (0.466350555419922 × 131072)
    floor (61125.5)     		tx = 61125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312007904052734 × 217)
    floor (0.312007904052734 × 131072)
    floor (40895.5)     		ty = 40895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61125 / 40895 ti = "17/61125/40895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61125/40895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61125 ÷ 217
    61125 ÷ 131072     		x = 0.466346740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40895 ÷ 217
    40895 ÷ 131072     		y = 0.312004089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466346740722656 × 2 - 1) × π
    -0.0673065185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21144966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312004089355469 × 2 - 1) × π
    0.375991821289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.1812131435378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21144966} λ = -0.21144966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1812131435378))-π/2
    2×atan(3.25832462165151)-π/2
    2×1.27301568164898-π/2
    2.54603136329797-1.57079632675     		φ = 0.97523504
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21144966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.115173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97523504 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.876852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61125 KachelY 40895 -0.21144966 0.97523504 -12.115173 55.876852
    Oben rechts KachelX + 1 61126 KachelY 40895 -0.21140173 0.97523504 -12.112427 55.876852
    Unten links KachelX 61125 KachelY + 1 40896 -0.21144966 0.97520814 -12.115173 55.875311
    Unten rechts KachelX + 1 61126 KachelY + 1 40896 -0.21140173 0.97520814 -12.112427 55.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97523504-0.97520814) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dl = 171.379900000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97523504-0.97520814) × R
    2.69000000000519e-05 × 6371000     		dr = 171.379900000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21144966--0.21140173) × cos(0.97523504) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.56097349499881 × 6371000     		do = 171.300005209037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21144966--0.21140173) × cos(0.97520814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.560995763524048 × 6371000     		du = 171.306805171109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97523504)-sin(0.97520814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56097349499881-0.560995763524048)×R²
    abs(-0.21140173--0.21144966)×2.22685252386778e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.22685252386778e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.22685252386778e-05×40589641000000     		ar = 29357.960452891m²