Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61121 / 41318
↖ ↑ ↗
← N 55.219624°
W 12.126160°		 ← 174.22 m → N 55.219624°
W 12.123413°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
N 55.218057°
W 12.126160°		 ← 174.23 m →
30 359 m²		 N 55.218057°
W 12.123413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466320037841797 y=0.315235137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466320037841797 × 217)
    floor (0.466320037841797 × 131072)
    floor (61121.5)     		tx = 61121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315235137939453 × 217)
    floor (0.315235137939453 × 131072)
    floor (41318.5)     		ty = 41318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61121 / 41318 ti = "17/61121/41318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61121/41318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61121 ÷ 217
    61121 ÷ 131072     		x = 0.466316223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41318 ÷ 217
    41318 ÷ 131072     		y = 0.315231323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466316223144531 × 2 - 1) × π
    -0.0673675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21164141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315231323242188 × 2 - 1) × π
    0.369537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16093583499852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21164141} λ = -0.21164141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16093583499852))-π/2
    2×atan(3.19291992460604)-π/2
    2×1.26728028631661-π/2
    2.53456057263323-1.57079632675     		φ = 0.96376425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21164141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.126160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96376425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.219624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61121 KachelY 41318 -0.21164141 0.96376425 -12.126160 55.219624
    Oben rechts KachelX + 1 61122 KachelY 41318 -0.21159347 0.96376425 -12.123413 55.219624
    Unten links KachelX 61121 KachelY + 1 41319 -0.21164141 0.96373690 -12.126160 55.218057
    Unten rechts KachelX + 1 61122 KachelY + 1 41319 -0.21159347 0.96373690 -12.123413 55.218057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96376425-0.96373690) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dl = 174.246849999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96376425-0.96373690) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dr = 174.246849999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21164141--0.21159347) × cos(0.96376425) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570432288230483 × 6371000     		do = 174.224703752675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21164141--0.21159347) × cos(0.96373690) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570454751792818 × 6371000     		du = 174.231564702824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96376425)-sin(0.96373690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570432288230483-0.570454751792818)×R²
    abs(-0.21159347--0.21164141)×2.24635623348179e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.24635623348179e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.24635623348179e-05×40589641000000     		ar = 30358.7035723831m²