Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61120 / 57919
↖ ↑ ↗
← S 79.748954°
E155.742188°		 ← 108.70 m → S 79.748954°
E155.747681°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 79.749932°
E155.742188°		 ← 108.69 m →
11 814 m²		 S 79.749932°
E155.747681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932624816894531 y=0.883781433105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932624816894531 × 216)
    floor (0.932624816894531 × 65536)
    floor (61120.5)     		tx = 61120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.883781433105469 × 216)
    floor (0.883781433105469 × 65536)
    floor (57919.5)     		ty = 57919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61120 / 57919 ti = "16/61120/57919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61120/57919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61120 ÷ 216
    61120 ÷ 65536     		x = 0.9326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57919 ÷ 216
    57919 ÷ 65536     		y = 0.883773803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9326171875 × 2 - 1) × π
    0.865234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71821396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883773803710938 × 2 - 1) × π
    -0.767547607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41132192468806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71821396} λ = 2.71821396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41132192468806))-π/2
    2×atan(0.0896966439578533)-π/2
    2×0.0894572474476583-π/2
    0.178914494895317-1.57079632675     		φ = -1.39188183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71821396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.742188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39188183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.748954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61120 KachelY 57919 2.71821396 -1.39188183 155.742188 -79.748954
    Oben rechts KachelX + 1 61121 KachelY 57919 2.71830983 -1.39188183 155.747681 -79.748954
    Unten links KachelX 61120 KachelY + 1 57920 2.71821396 -1.39189889 155.742188 -79.749932
    Unten rechts KachelX + 1 61121 KachelY + 1 57920 2.71830983 -1.39189889 155.747681 -79.749932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39188183--1.39189889) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39188183--1.39189889) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71821396-2.71830983) × cos(-1.39188183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177961502676912 × 6371000     		do = 108.696709365878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71821396-2.71830983) × cos(-1.39189889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177944714972114 × 6371000     		du = 108.686455641101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39188183)-sin(-1.39189889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177961502676912-0.177944714972114)×R²
    abs(2.71830983-2.71821396)×1.67877047983489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67877047983489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67877047983489e-05×40589641000000     		ar = 11813.6076706793m²