Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61115 / 32361
↖ ↑ ↗
← N 66.954802°
W 12.142639°		 ← 119.54 m → N 66.954802°
W 12.139893°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
N 66.953726°
W 12.142639°		 ← 119.54 m →
14 295 m²		 N 66.953726°
W 12.139893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466274261474609 y=0.246898651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466274261474609 × 217)
    floor (0.466274261474609 × 131072)
    floor (61115.5)     		tx = 61115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246898651123047 × 217)
    floor (0.246898651123047 × 131072)
    floor (32361.5)     		ty = 32361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61115 / 32361 ti = "17/61115/32361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61115/32361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61115 ÷ 217
    61115 ÷ 131072     		x = 0.466270446777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32361 ÷ 217
    32361 ÷ 131072     		y = 0.246894836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466270446777344 × 2 - 1) × π
    -0.0674591064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21192903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246894836425781 × 2 - 1) × π
    0.506210327148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.59030664489536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21192903} λ = -0.21192903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59030664489536))-π/2
    2×atan(4.90525286847964)-π/2
    2×1.36968903321306-π/2
    2.73937806642611-1.57079632675     		φ = 1.16858174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21192903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.142639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16858174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.954802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61115 KachelY 32361 -0.21192903 1.16858174 -12.142639 66.954802
    Oben rechts KachelX + 1 61116 KachelY 32361 -0.21188110 1.16858174 -12.139893 66.954802
    Unten links KachelX 61115 KachelY + 1 32362 -0.21192903 1.16856297 -12.142639 66.953726
    Unten rechts KachelX + 1 61116 KachelY + 1 32362 -0.21188110 1.16856297 -12.139893 66.953726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16858174-1.16856297) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16858174-1.16856297) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21192903--0.21188110) × cos(1.16858174) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.391457155225727 × 6371000     		do = 119.536151577757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21192903--0.21188110) × cos(1.16856297) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.391474427241983 × 6371000     		du = 119.541425795703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16858174)-sin(1.16856297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391457155225727-0.391474427241983)×R²
    abs(-0.21188110--0.21192903)×1.72720162561757e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.72720162561757e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72720162561757e-05×40589641000000     		ar = 14294.8870589452m²