Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61114 / 41322
↖ ↑ ↗
← N 55.213356°
W 12.145386°		 ← 174.25 m → N 55.213356°
W 12.142639°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
N 55.211789°
W 12.145386°		 ← 174.26 m →
30 363 m²		 N 55.211789°
W 12.142639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466266632080078 y=0.315265655517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466266632080078 × 217)
    floor (0.466266632080078 × 131072)
    floor (61114.5)     		tx = 61114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315265655517578 × 217)
    floor (0.315265655517578 × 131072)
    floor (41322.5)     		ty = 41322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61114 / 41322 ti = "17/61114/41322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61114/41322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61114 ÷ 217
    61114 ÷ 131072     		x = 0.466262817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41322 ÷ 217
    41322 ÷ 131072     		y = 0.315261840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466262817382812 × 2 - 1) × π
    -0.067474365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21197697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315261840820312 × 2 - 1) × π
    0.369476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.16074408740004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21197697} λ = -0.21197697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16074408740004))-π/2
    2×atan(3.19230774857187)-π/2
    2×1.26722559249894-π/2
    2.53445118499787-1.57079632675     		φ = 0.96365486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21197697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.145386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96365486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.213356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61114 KachelY 41322 -0.21197697 0.96365486 -12.145386 55.213356
    Oben rechts KachelX + 1 61115 KachelY 41322 -0.21192903 0.96365486 -12.142639 55.213356
    Unten links KachelX 61114 KachelY + 1 41323 -0.21197697 0.96362751 -12.145386 55.211789
    Unten rechts KachelX + 1 61115 KachelY + 1 41323 -0.21192903 0.96362751 -12.142639 55.211789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96365486-0.96362751) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dl = 174.246849999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96365486-0.96362751) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dr = 174.246849999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21197697--0.21192903) × cos(0.96365486) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570522131706655 × 6371000     		do = 174.252144262869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21197697--0.21192903) × cos(0.96362751) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.570544593562193 × 6371000     		du = 174.259004691719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96365486)-sin(0.96362751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570522131706655-0.570544593562193)×R²
    abs(-0.21192903--0.21197697)×2.2461855538114e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2461855538114e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2461855538114e-05×40589641000000     		ar = 30363.4849493054m²