Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61113 / 41097
↖ ↑ ↗
← N 55.564369°
W 12.148132°		 ← 172.71 m → N 55.564369°
W 12.145386°		 →
↑
172.65 m
↓
↑
172.65 m
↓
N 55.562816°
W 12.148132°		 ← 172.72 m →
29 820 m²		 N 55.562816°
W 12.145386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466259002685547 y=0.313549041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466259002685547 × 217)
    floor (0.466259002685547 × 131072)
    floor (61113.5)     		tx = 61113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313549041748047 × 217)
    floor (0.313549041748047 × 131072)
    floor (41097.5)     		ty = 41097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61113 / 41097 ti = "17/61113/41097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61113/41097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61113 ÷ 217
    61113 ÷ 131072     		x = 0.466255187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41097 ÷ 217
    41097 ÷ 131072     		y = 0.313545227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466255187988281 × 2 - 1) × π
    -0.0674896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21202491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313545227050781 × 2 - 1) × π
    0.372909545898438 × 3.1415926535     		Φ = 1.17152988981455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21202491} λ = -0.21202491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17152988981455))-π/2
    2×atan(3.2269257048105)-π/2
    2×1.27028875564377-π/2
    2.54057751128754-1.57079632675     		φ = 0.96978118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21202491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.148132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96978118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.564369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61113 KachelY 41097 -0.21202491 0.96978118 -12.148132 55.564369
    Oben rechts KachelX + 1 61114 KachelY 41097 -0.21197697 0.96978118 -12.145386 55.564369
    Unten links KachelX 61113 KachelY + 1 41098 -0.21202491 0.96975408 -12.148132 55.562816
    Unten rechts KachelX + 1 61114 KachelY + 1 41098 -0.21197697 0.96975408 -12.145386 55.562816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96978118-0.96975408) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dl = 172.654100000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96978118-0.96975408) × R
    2.71000000000576e-05 × 6371000     		dr = 172.654100000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21202491--0.21197697) × cos(0.96978118) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565480019116816 × 6371000     		do = 172.712153294054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21202491--0.21197697) × cos(0.96975408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.565502369959224 × 6371000     		du = 172.718979816636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96978118)-sin(0.96975408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565480019116816-0.565502369959224)×R²
    abs(-0.21197697--0.21202491)×2.235084240787e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.235084240787e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.235084240787e-05×40589641000000     		ar = 29820.0507013861m²