Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61113 / 40953
↖ ↑ ↗
← N 55.787384°
W 12.148132°		 ← 171.73 m → N 55.787384°
W 12.145386°		 →
↑
171.70 m
↓
↑
171.70 m
↓
N 55.785840°
W 12.148132°		 ← 171.74 m →
29 486 m²		 N 55.785840°
W 12.145386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466259002685547 y=0.312450408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466259002685547 × 217)
    floor (0.466259002685547 × 131072)
    floor (61113.5)     		tx = 61113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312450408935547 × 217)
    floor (0.312450408935547 × 131072)
    floor (40953.5)     		ty = 40953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61113 / 40953 ti = "17/61113/40953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61113/40953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61113 ÷ 217
    61113 ÷ 131072     		x = 0.466255187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40953 ÷ 217
    40953 ÷ 131072     		y = 0.312446594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466255187988281 × 2 - 1) × π
    -0.0674896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21202491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312446594238281 × 2 - 1) × π
    0.375106811523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.17843280335984
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21202491} λ = -0.21202491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17843280335984))-π/2
    2×atan(3.24927795302899)-π/2
    2×1.27223493522671-π/2
    2.54446987045342-1.57079632675     		φ = 0.97367354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21202491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.148132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97367354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.787384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61113 KachelY 40953 -0.21202491 0.97367354 -12.148132 55.787384
    Oben rechts KachelX + 1 61114 KachelY 40953 -0.21197697 0.97367354 -12.145386 55.787384
    Unten links KachelX 61113 KachelY + 1 40954 -0.21202491 0.97364659 -12.148132 55.785840
    Unten rechts KachelX + 1 61114 KachelY + 1 40954 -0.21197697 0.97364659 -12.145386 55.785840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97367354-0.97364659) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dl = 171.698449999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97367354-0.97364659) × R
    2.69499999999701e-05 × 6371000     		dr = 171.698449999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21202491--0.21197697) × cos(0.97367354) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.56226547298752 × 6371000     		do = 171.73034816375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21202491--0.21197697) × cos(0.97364659) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562287759268908 × 6371000     		du = 171.737154967734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97367354)-sin(0.97364659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56226547298752-0.562287759268908)×R²
    abs(-0.21197697--0.21202491)×2.22862813876734e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22862813876734e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22862813876734e-05×40589641000000     		ar = 29486.4189581826m²