Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61112 / 41249
↖ ↑ ↗
← N 55.327582°
W 12.150879°		 ← 173.72 m → N 55.327582°
W 12.148132°		 →
↑
173.74 m
↓
↑
173.74 m
↓
N 55.326019°
W 12.150879°		 ← 173.72 m →
30 181 m²		 N 55.326019°
W 12.148132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466251373291016 y=0.314708709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466251373291016 × 217)
    floor (0.466251373291016 × 131072)
    floor (61112.5)     		tx = 61112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314708709716797 × 217)
    floor (0.314708709716797 × 131072)
    floor (41249.5)     		ty = 41249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61112 / 41249 ti = "17/61112/41249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61112/41249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61112 ÷ 217
    61112 ÷ 131072     		x = 0.46624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41249 ÷ 217
    41249 ÷ 131072     		y = 0.314704895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21207284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314704895019531 × 2 - 1) × π
    0.370590209960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1642434810723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21207284} λ = -0.21207284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1642434810723))-π/2
    2×atan(3.20349845903795)-π/2
    2×1.26822239951585-π/2
    2.5364447990317-1.57079632675     		φ = 0.96564847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21207284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.150879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96564847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.327582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61112 KachelY 41249 -0.21207284 0.96564847 -12.150879 55.327582
    Oben rechts KachelX + 1 61113 KachelY 41249 -0.21202491 0.96564847 -12.148132 55.327582
    Unten links KachelX 61112 KachelY + 1 41250 -0.21207284 0.96562120 -12.150879 55.326019
    Unten rechts KachelX + 1 61113 KachelY + 1 41250 -0.21202491 0.96562120 -12.148132 55.326019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96564847-0.96562120) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dl = 173.737170000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96564847-0.96562120) × R
    2.72700000000237e-05 × 6371000     		dr = 173.737170000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21207284--0.21202491) × cos(0.96564847) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.568883682565375 × 6371000     		do = 173.715476142044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21207284--0.21202491) × cos(0.96562120) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.568906109692524 × 6371000     		du = 173.722324535117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96564847)-sin(0.96562120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568883682565375-0.568906109692524)×R²
    abs(-0.21202491--0.21207284)×2.24271271486165e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24271271486165e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24271271486165e-05×40589641000000     		ar = 30181.4301221425m²