Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61112 / 32359
↖ ↑ ↗
← N 66.956952°
W 12.150879°		 ← 119.53 m → N 66.956952°
W 12.148132°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
N 66.955877°
W 12.150879°		 ← 119.53 m →
14 294 m²		 N 66.955877°
W 12.148132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466251373291016 y=0.246883392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466251373291016 × 217)
    floor (0.466251373291016 × 131072)
    floor (61112.5)     		tx = 61112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246883392333984 × 217)
    floor (0.246883392333984 × 131072)
    floor (32359.5)     		ty = 32359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61112 / 32359 ti = "17/61112/32359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61112/32359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61112 ÷ 217
    61112 ÷ 131072     		x = 0.46624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32359 ÷ 217
    32359 ÷ 131072     		y = 0.246879577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21207284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246879577636719 × 2 - 1) × π
    0.506240844726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.5904025186946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21207284} λ = -0.21207284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5904025186946))-π/2
    2×atan(4.90572317625311)-π/2
    2×1.36970779762769-π/2
    2.73941559525538-1.57079632675     		φ = 1.16861927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21207284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.150879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16861927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.956952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61112 KachelY 32359 -0.21207284 1.16861927 -12.150879 66.956952
    Oben rechts KachelX + 1 61113 KachelY 32359 -0.21202491 1.16861927 -12.148132 66.956952
    Unten links KachelX 61112 KachelY + 1 32360 -0.21207284 1.16860050 -12.150879 66.955877
    Unten rechts KachelX + 1 61113 KachelY + 1 32360 -0.21202491 1.16860050 -12.148132 66.955877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16861927-1.16860050) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16861927-1.16860050) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21207284--0.21202491) × cos(1.16861927) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.391422619981585 × 6371000     		do = 119.525605825499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21207284--0.21202491) × cos(1.16860050) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.391439892273592 × 6371000     		du = 119.530880127649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16861927)-sin(1.16860050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391422619981585-0.391439892273592)×R²
    abs(-0.21202491--0.21207284)×1.72722920074309e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.72722920074309e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.72722920074309e-05×40589641000000     		ar = 14293.6259642719m²