Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61111 / 40404
↖ ↑ ↗
← N 56.626021°
W 12.153625°		 ← 168.02 m → N 56.626021°
W 12.150879°		 →
↑
168 m
↓
↑
168 m
↓
N 56.624510°
W 12.153625°		 ← 168.02 m →
28 228 m²		 N 56.624510°
W 12.150879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466243743896484 y=0.308261871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466243743896484 × 217)
    floor (0.466243743896484 × 131072)
    floor (61111.5)     		tx = 61111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308261871337891 × 217)
    floor (0.308261871337891 × 131072)
    floor (40404.5)     		ty = 40404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61111 / 40404 ti = "17/61111/40404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61111/40404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61111 ÷ 217
    61111 ÷ 131072     		x = 0.466239929199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40404 ÷ 217
    40404 ÷ 131072     		y = 0.308258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466239929199219 × 2 - 1) × π
    -0.0675201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21212078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308258056640625 × 2 - 1) × π
    0.38348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20475016125125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21212078} λ = -0.21212078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20475016125125))-π/2
    2×atan(3.33592553048505)-π/2
    2×1.2795534143471-π/2
    2.55910682869421-1.57079632675     		φ = 0.98831050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21212078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.153625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98831050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.626021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61111 KachelY 40404 -0.21212078 0.98831050 -12.153625 56.626021
    Oben rechts KachelX + 1 61112 KachelY 40404 -0.21207284 0.98831050 -12.150879 56.626021
    Unten links KachelX 61111 KachelY + 1 40405 -0.21212078 0.98828413 -12.153625 56.624510
    Unten rechts KachelX + 1 61112 KachelY + 1 40405 -0.21207284 0.98828413 -12.150879 56.624510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98831050-0.98828413) × R
    2.63699999999423e-05 × 6371000     		dl = 168.003269999632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98831050-0.98828413) × R
    2.63699999999423e-05 × 6371000     		dr = 168.003269999632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21212078--0.21207284) × cos(0.98831050) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550101542707679 × 6371000     		do = 168.015170756622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21212078--0.21207284) × cos(0.98828413) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.550123564044722 × 6371000     		du = 168.021896639784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98831050)-sin(0.98828413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550101542707679-0.550123564044722)×R²
    abs(-0.21207284--0.21212078)×2.20213370428768e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20213370428768e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20213370428768e-05×40589641000000     		ar = 28227.6630835166m²