Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61110 / 40398
↖ ↑ ↗
← N 56.635085°
W 12.156372°		 ← 167.97 m → N 56.635085°
W 12.153625°		 →
↑
167.94 m
↓
↑
167.94 m
↓
N 56.633574°
W 12.156372°		 ← 167.98 m →
28 210 m²		 N 56.633574°
W 12.153625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466236114501953 y=0.308216094970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466236114501953 × 217)
    floor (0.466236114501953 × 131072)
    floor (61110.5)     		tx = 61110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308216094970703 × 217)
    floor (0.308216094970703 × 131072)
    floor (40398.5)     		ty = 40398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61110 / 40398 ti = "17/61110/40398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61110/40398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61110 ÷ 217
    61110 ÷ 131072     		x = 0.466232299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40398 ÷ 217
    40398 ÷ 131072     		y = 0.308212280273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466232299804688 × 2 - 1) × π
    -0.067535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21216872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308212280273438 × 2 - 1) × π
    0.383575439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.20503778264897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21216872} λ = -0.21216872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20503778264897))-π/2
    2×atan(3.33688515204605)-π/2
    2×1.27963251533375-π/2
    2.55926503066751-1.57079632675     		φ = 0.98846870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21216872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.156372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98846870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.635085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61110 KachelY 40398 -0.21216872 0.98846870 -12.156372 56.635085
    Oben rechts KachelX + 1 61111 KachelY 40398 -0.21212078 0.98846870 -12.153625 56.635085
    Unten links KachelX 61110 KachelY + 1 40399 -0.21216872 0.98844234 -12.156372 56.633574
    Unten rechts KachelX + 1 61111 KachelY + 1 40399 -0.21212078 0.98844234 -12.153625 56.633574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98846870-0.98844234) × R
    2.6360000000003e-05 × 6371000     		dl = 167.939560000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98846870-0.98844234) × R
    2.6360000000003e-05 × 6371000     		dr = 167.939560000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21216872--0.21212078) × cos(0.98846870) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549969423356568 × 6371000     		do = 167.97481810604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21216872--0.21212078) × cos(0.98844234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.549991438636555 × 6371000     		du = 167.981542139222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98846870)-sin(0.98844234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549969423356568-0.549991438636555)×R²
    abs(-0.21212078--0.21216872)×2.2015279987686e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2015279987686e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2015279987686e-05×40589641000000     		ar = 28210.1816608637m²