Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6111 / 10157
↖ ↑ ↗
← S 39.588757°
W 45.725097°		 ← 1 882.83 m → S 39.588757°
W 45.703125°		 →
↑
1 882.63 m
↓
↑
1 882.63 m
↓
S 39.605688°
W 45.725097°		 ← 1 882.37 m →
3 544 249 m²		 S 39.605688°
W 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373016357421875 y=0.619964599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373016357421875 × 214)
    floor (0.373016357421875 × 16384)
    floor (6111.5)     		tx = 6111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619964599609375 × 214)
    floor (0.619964599609375 × 16384)
    floor (10157.5)     		ty = 10157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6111 / 10157 ti = "14/6111/10157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6111/10157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6111 ÷ 214
    6111 ÷ 16384     		x = 0.37298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10157 ÷ 214
    10157 ÷ 16384     		y = 0.61993408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37298583984375 × 2 - 1) × π
    -0.2540283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79805350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61993408203125 × 2 - 1) × π
    -0.2398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.753568062027283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79805350} λ = -0.79805350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.753568062027283))-π/2
    2×atan(0.47068412287321)-π/2
    2×0.439921082777792-π/2
    0.879842165555583-1.57079632675     		φ = -0.69095416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79805350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.725097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69095416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.588757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6111 KachelY 10157 -0.79805350 -0.69095416 -45.725097 -39.588757
    Oben rechts KachelX + 1 6112 KachelY 10157 -0.79767001 -0.69095416 -45.703125 -39.588757
    Unten links KachelX 6111 KachelY + 1 10158 -0.79805350 -0.69124966 -45.725097 -39.605688
    Unten rechts KachelX + 1 6112 KachelY + 1 10158 -0.79767001 -0.69124966 -45.703125 -39.605688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69095416--0.69124966) × R
    0.000295500000000004 × 6371000     		dl = 1882.63050000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69095416--0.69124966) × R
    0.000295500000000004 × 6371000     		dr = 1882.63050000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79805350--0.79767001) × cos(-0.69095416) × R
    0.000383489999999931 × 0.770638305692101 × 6371000     		do = 1882.83490620714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79805350--0.79767001) × cos(-0.69124966) × R
    0.000383489999999931 × 0.770449957940872 × 6371000     		du = 1882.37473219568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69095416)-sin(-0.69124966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770638305692101-0.770449957940872)×R²
    abs(-0.79767001--0.79805350)×0.000188347751228668×R²
    0.000383489999999931×0.000188347751228668×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188347751228668×40589641000000     		ar = 3544249.27786556m²