Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61109 / 41325
↖ ↑ ↗
← N 55.208655°
W 12.159118°		 ← 174.24 m → N 55.208655°
W 12.156372°		 →
↑
174.31 m
↓
↑
174.31 m
↓
N 55.207088°
W 12.159118°		 ← 174.24 m →
30 372 m²		 N 55.207088°
W 12.156372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466228485107422 y=0.315288543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466228485107422 × 217)
    floor (0.466228485107422 × 131072)
    floor (61109.5)     		tx = 61109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315288543701172 × 217)
    floor (0.315288543701172 × 131072)
    floor (41325.5)     		ty = 41325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61109 / 41325 ti = "17/61109/41325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61109/41325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61109 ÷ 217
    61109 ÷ 131072     		x = 0.466224670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41325 ÷ 217
    41325 ÷ 131072     		y = 0.315284729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466224670410156 × 2 - 1) × π
    -0.0675506591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21221665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315284729003906 × 2 - 1) × π
    0.369430541992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.16060027670118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21221665} λ = -0.21221665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16060027670118))-π/2
    2×atan(3.19184869357288)-π/2
    2×1.26718456648291-π/2
    2.53436913296583-1.57079632675     		φ = 0.96357281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21221665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.159118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96357281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.208655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61109 KachelY 41325 -0.21221665 0.96357281 -12.159118 55.208655
    Oben rechts KachelX + 1 61110 KachelY 41325 -0.21216872 0.96357281 -12.156372 55.208655
    Unten links KachelX 61109 KachelY + 1 41326 -0.21221665 0.96354545 -12.159118 55.207088
    Unten rechts KachelX + 1 61110 KachelY + 1 41326 -0.21216872 0.96354545 -12.156372 55.207088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96357281-0.96354545) × R
    2.73599999999208e-05 × 6371000     		dl = 174.310559999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96357281-0.96354545) × R
    2.73599999999208e-05 × 6371000     		dr = 174.310559999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21221665--0.21216872) × cos(0.96357281) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.570589515992912 × 6371000     		do = 174.236372900319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21221665--0.21216872) × cos(0.96354545) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.570611984780257 × 6371000     		du = 174.243234014834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96357281)-sin(0.96354545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570589515992912-0.570611984780257)×R²
    abs(-0.21216872--0.21221665)×2.24687873450202e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.24687873450202e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.24687873450202e-05×40589641000000     		ar = 30371.837716816m²